Ache a integral indefinida geral.

13 .             ∫ sen ⁡ x + senh ⁡ x d x

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos calcular a seguinte integral indefinida:

∫ sen ⁡ x + senh ⁡ x d x

Aqui vamos usar a regra da soma das integrais, que diz que a integral da soma é a soma da integral:

∫ f x + g x d x = ∫ f x d x + ∫ g x d x

E vamos lembrar que a integral nada mais é que a antiderivada de uma função.

Para isso, vamos lembrar as integrais imediatas das seguintes funções:

∫ sen ⁡ x d x = - cos ⁡ x + C

e

∫ senh ⁡ x d x = cosh ⁡ x + C

Nós sabemos disso, pois a derivada dessas respostas retorna nas funções que estão na integral:

- cos ⁡ x ' = - - s e n x = s e n x

cosh ⁡ x ' = s e n h x '

Por fim, não podemos esquecer que temos sempre que somar uma constante C no final quando a integral é indefinida.

Agora bora lá! 😉

Passo 2

Separando a integral em duas, temos:

∫ sen ⁡ x + senh ⁡ x d x = ∫ sen ⁡ x d x + ∫ senh ⁡ x d x

Dessa forma, aplicando o que vimos no Passo 1, temos:

∫ sen ⁡ x d x + ∫ senh ⁡ x d x = - cos ⁡ x + cosh ⁡ x + C

Não pode esquecer da constante C , viu?!

Resposta

∫ sen ⁡ x + senh ⁡ x d x = - cos ⁡ x + cosh ⁡ x + C

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