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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.9 - Ex. 11

Encontre dy/dx.

y = coth ( ln x )

Passo 1

Nessa expressão usamos:

coth x = (e^x + e^(- x))/(e^x - e^(- x))

coth ( ln x ) = (e^(ln x) + e^(- ln x))/(e^(ln x) - e^(- ln x))

Como pela propriedade exponencial, e^(ln x) = x e e^(- ln x) = (1)/(x) , então:

= (x + (1)/(x))/(x - (1)/(x))

Tirando o MMC, temos:

= ((x^2 + 1)/(x))/((x^2 - 1)/(x))

Simplificamos os fatores:

= (x^2 + 1)/(x^2 - 1)

Assim, podemos aplicar a derivação!! Aplicamos a regra do quociente:

((f)/(g))^' = (f^' xx g - f xx g ')/(g^2)

((d)/(d x) ( x^2 + 1 ) xx ( x^2 - 1 ) - ( x^2 + 1 ) xx (d)/(d x) ( x^2 - 1 ))/(( x^2 - 1 )^2)

- (4 x)/((x^2 - 1)^2)

Portanto, (d)/(d x) (coth ( ln x )) = - (4 x)/((x^2 - 1)^2) .

Prontinho!!

Resposta

- (4 x)/((x^2 - 1)^2)

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