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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 8

Ache a inversa de

2 x - 1 2 x + 1

E verifique se o teorema abaixo é valido f f - 1 x = x

f - 1 f x = x    

Passo 1

Primeiro, Temos que achar o dom de F(x).

Nossa função é uma divisão de polinômio continuo. Logo ela também vai ser continua, exceto no ponto aonde o denominador vai pra zero.

Isso Faz que nossa função exploda pra infinito.

Entao :

2 x + 1 ≠ 0

x ≠ - 1 2

Pronto achamos o Dominio.

Dom f(x) = R   |   x ≠ ( - 1 / 2 )

Passo 2

Digamos que y   = 2 x - 1 2 x + 1

Assim Inverter ela não sera tao fácil. Precisamos alterar nossa função para ser mais fácil de manipular.

Uma ideia boa é fazer substituição : u = 2x+ 1

Logo

y = u - 2 u = 1 - 2 u

Agora sim ficou mais fácil intervermos.

y = 1 - 2 u

y - 1 =   - 2 u

u =   - 2 y - 1

Agora vamos retornar de u para x

2 x + 1 =   - 2 y - 1

x =   - 1 y - 1   -   1 2

x =   - 2 + y - 1 2 y - 1

x =   - 1 2 y + 1 y - 1  

Esse é um truque que ajuda muito quando queremos inverter funções, mas não esqueça! Queremos quer a inversa seja uma função de X. Logo vamos reescrever ela .

f x =   2 x - 1 2 x + 1

f - 1 x = - 1 2 x + 1 x - 1

Passo 3

Precisamos agora Testar o teorema.

f f - 1 x = x

=   2 - 1 2 x + 1 x - 1 - 1 2 - 1 2 x + 1 x - 1 + 1

=   - x + 1 x - 1 - 1 - x + 1 x - 1 + 1

=   - x + 1 - x - 1 x - 1 - x + 1 + x - 1 x - 1

=   - x + 1 - x - 1 - x + 1 + x - 1

=   - 2 x - 2

=   x

Tome muito cuidado com os sinais. Em frações grandes assim , temos que ir com bastante calma com as contas pra não nos perdemos.

f - 1 f x = x  

= - 1 2 2 x - 1 2 x + 1 + 1 2 x - 1 2 x + 1 - 1  

= - 1 2   2 x - 1 + 2 x + 1 2 x + 1 2 x - 1 - ( 2 x + 1 ) 2 x + 1    

=   - 1 2 4 x - 2

= x  

Pronto. Verificamos que achamos a função inversa correta.

Resposta

f - 1 x = - 1 2 x + 1 x - 1

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