Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.6 - Ex. 53
Use o resultado do Exercício 52 (a) para provar que se for uma função par e existir, então se e se for derivável em toda parte, .
Passo 1
O exercício pede para usarmos o fato que a derivada de uma função é uma função ímpar (exercício 52 (a)) para provar que se for par e , então .
Bom, se for par, usando o resultado do exercício 52 (a), já sabemos que é uma função ímpar. Agora vamos aplicar a regra da cadeia para achar uma expressão para e ver o que podemos fazer...
Passo 2
Aplicando a regra da cadeia:
Fazendo , temos que
O enunciado disse que é derivável em toda parte e existe, de modo que não precisamos nos preocupar com possíveis patologias e a regra da cadeia vale para todo . Mas como provar que ? Ou ou , mas qual deles é zero?
Note que não temos nenhuma informação adicional sobre , mas sabemos que é ímpar, vamos focar nisso!
Passo 3
Aqui que vem o pulo do gato: para toda função ímpar, o valor da função em é . Vamos provar isso: seja uma função ímpar, então
Fazendo , temos que
Assim, como é ímpar, temos que , de modo que .
Resposta
Demonstração.