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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.7 - Ex. 33

Calcule a derivada indicada.

D_x (sqrt(9 + sqrt(9 - x)))

Passo 1

A questão pede para acharmos a derivada da função dada. Vamos precisar aplicar a regra da cadeia sucessivas vezes...

Aplicando na primeira vez, temos

D_x (sqrt(9 + sqrt(9 - x))) = D_x ((9 + sqrt(9 - x))^((1)/(2))) = (1)/(2) (9 + sqrt(9 - x))^(- (1)/(2)) * (9 + sqrt(9 - x))^'

Assim,

D_x (sqrt(9 + sqrt(9 - x))) = ((9 + sqrt(9 - x))^')/(2 sqrt(9 + sqrt(9 - x)))

Passo 2

Por outro lado, temos que

(9 + sqrt(9 - x))^' = (sqrt(9 - x))^' = ((9 - x)^((1)/(2)))^' = (1)/(2) (9 - x)^(- (1)/(2)) * (9 - x)^'

Assim,

(9 + sqrt(9 - x))^' = - (1)/(2 sqrt(9 - x))

Passo 3

Substituindo de volta na expressão encontrada no passo 1:

D_x (sqrt(9 + sqrt(9 - x))) = (- (1)/(2 sqrt(9 - x)))/(2 sqrt(9 + sqrt(9 - x)))

Assim,

D_x (sqrt(9 + sqrt(9 - x))) = - (1)/(4 sqrt(9 - x) sqrt(9 + sqrt(9 - x)))

Resposta

D_x (sqrt(9 + sqrt(9 - x))) = - (1)/(4 sqrt(9 - x) sqrt(9 + sqrt(9 - x)))

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