Se f e g forem duas funções tal que f ∘ g x = x e g ∘ f x , então f e g serão funções inversas. Mostre que f e g são funções inversas

f x = 1 x + 1

g x = 1 - x x

Passo 1

O nosso método pra solucionar esse tipo de questão vai ser bem simples. O problema quer que mostremos que as duas funções são inversas entre si e pra provar isso ele nos dá uma alternativa show de bola, vamos nos aproveitar dela:

  1. Fazer f g x e chegar que isso é realmente igual a x .
  2. Fazer g f x e ver que isso também é igual a x .

Daí teremos mostrado que ambas são funções inversas!

Passo 2

Começando fazendo a f g x :

f ( g x = f 1 - x x

= 1 1 - x x + 1

Juntando tudo ali do denominador em uma fração só:

= 1 1 - x x + x x

= 1 1 - x + x x

= 1 1 x

= x

Mostramos que f g x = x !

Passo 3

Agora temos que mostrar o mesmo para a outra função composta g f x :

g f x = g 1 x + 1

= 1 - 1 x + 1 1 x + 1

Vamos separar essa fração monstruosa em outras duas porque ninguém merece uma fração dessa, né?

= 1 - 1 x + 1 ∙ x + 1

= x + 1 - x + 1 x + 1

= x + 1 - 1

= x

Voilá! Teje provado!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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