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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.5 - Ex. 15

Ache o limite

underset(x -> + oo)(lim) (7 x^2 - 2 x + 1)/(3 x^2 + 8 x + 5)

Passo 1

Esse é aquele limite que temos de polinômio sobre polinômio, com x indo para oo .

Então para resolvê-los temos que colocar o termo de maior grau em evidência no numerador e depois a mesma coisa no denominador para simplificarmos e acharmos a resposta.

Vamos trabalhar só com a fração, depois colocamos no limite

(7 x^2 - 2 x + 1)/(3 x^2 + 8 x + 5)

Passo 2

O nosso numerador é

7 x^2 - 2 x + 1

Colocando x^2 em evidência

x^2 (7 - (2)/(x) + (1)/(x^2))

Passo 3

O nosso denominador vai ser

3 x^2 + 8 x + 5

Colocando x^2 em evidência

x^2 (3 + (8)/(x) + (5)/(x^2))

Passo 4

A nossa fração vai ficar

(7 x^2 - 2 x + 1)/(3 x^2 + 8 x + 5) = (x^2 (7 - (2)/(x) + (1)/(x^2)))/(x^2 (3 + (8)/(x) + (5)/(x^2))) = (7 - (2)/(x) + (1)/(x^2))/(3 + (8)/(x) + (5)/(x^2))

Agora, vamos tomar o limite

underset(x -> + oo)(lim) (7 x^2 - 2 x + 1)/(3 x^2 + 8 x + 5) = underset(x -> + oo)(lim) (7 - (2)/(x) + (1)/(x^2))/(3 + (8)/(x) + (5)/(x^2))

Lembrando que o limite de um número sobre oo é sempre 0 , vamos ter

underset(x -> + oo)(lim) (7 - (2)/(x) + (1)/(x^2))/(3 + (8)/(x) + (5)/(x^2)) = (7 - 0 + 1)/(3 + 0 + 0) = (7)/(3)

Resposta

(7)/(3)

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