Encontre as assíntotas horizontal e vertical e trace um esboço do gráfico da função

O nosso numerador é

Aqui só temos termo, então não precisamos colocar ninguém em evidência.

O nosso denominador vai ser

Colocando em evidência

A nossa fração vai ficar

Agora, vamos tomar o limite

Lembrando que o limite de um número sobre é sempre , vamos ter

Assim, temos

Como uma assíntota horizontal.

Vamos para o outro limite

Temos a mesma situação de antes, então já podemos utilizar aquela fração final

Teremos

Como assíntota horizontal.

A assíntota vertical é o valor de que ao tomarmos o limite ele vai para ou para .

Para acharmos essas assíntotas, precisamos calcular o limite em alguns candidatos.

Quem são eles?

Como aqui temos uma fração, os candidatos serão os que zeram o denominador.

Nesse caso

Para o cálculo da assíntota, devemos separar nos limites laterais para cada que achamos. Ou seja, calcular

E

E

Começando com

Que vai ser

Opa, deu um número sobre . Então esse limite vai para ou para . Basta olharmos o sinal de próximo de , neste caso, pela direita.

Pela direita, significa pegar valores maiores que , logo o nosso denominador, que é , vai assumir valores menores que , sendo negativo. Isso porque pegando números maiores que , ao elevar ao quadrado vai dar mais que . Quando fizermos vai dar negativo.

O nosso numerador vai ser que é um número ao quadrado. Então é sempre positivo.

Assim, nossa fração vai ser negativo, porque é divisão de negativo com positivo, para valores maiores que .

E isso nos diz que

Começando com

Que vai ser

Opa, deu um número sobre . Então esse limite vai para ou para . Basta olharmos o sinal de próximo de , neste caso, pela esquerda.

Pela esquerda, significa pegar valores menores que , logo o nosso denominador, que é , vai assumir valores maiores que , sendo positivo. Isso porque pegando números menores que , ao elevar ao quadrado vai dar menos que . Quando fizermos vai dar positivo.

O nosso numerador vai ser que é um número ao quadrado. Então é sempre positivo.

Assim, nossa fração vai ser positiva, porque é divisão de positivo com positivo, para valores maiores que .

E isso nos diz que

Como achamos pelo menos um dos limites laterais indo para , nessa questão os dois né rs

Temos que

Agora o outro limite

Que vai ser

Opa, deu um número sobre . Então esse limite vai para ou para . Basta olharmos o sinal de próximo de , neste caso, pela direita.

Pela direita, significa pegar valores maiores que , logo o nosso denominador, que é , vai assumir valores menores que , sendo positivo. Isso porque pegando números maiores que , ao elevar ao quadrado vai dar menos que . Esses números são virgula alguma coisa, elevando ao quadrado o sinal fica positivo. Quando fizermos vai dar positivo.

O nosso numerador vai ser que é um número ao quadrado. Então é sempre positivo.

Assim, nossa fração vai ser positiva, porque é divisão de positivo com positivo, para valores maiores que .

E isso nos diz que

Começando com

Que vai ser

Opa, deu um número sobre . Então esse limite vai para ou para . Basta olharmos o sinal de próximo de , neste caso, pela esquerda.

Pela esquerda, significa pegar valores menores que , logo o nosso denominador, que é , vai assumir valores menores que , sendo negativo. Esses números são virgula alguma coisa, elevando ao quadrado o sinal fica positivo Quando fizermos vai dar negativo.

O nosso numerador vai ser que é um número ao quadrado. Então é sempre positivo.

Assim, nossa fração vai ser negativa, porque é divisão de negativo com positivo, para valores maiores que .

E isso nos diz que

Como achamos pelo menos um dos limites laterais indo para , nessa questão os dois né rs

Temos que

As assíntotas verticais são

Vamos juntar com nossa assíntota horizontal

E ver como fica o esboço.

O esboço vai ficar