Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.5 - Ex. 45
Encontre as assíntotas horizontal e vertical e trace um esboço do gráfico da função
Passo 1
Vamos começar pelas assíntotas horizontais.
Para encontra-las demos que calcular dois limites
E
Se agum desses limites der algum número, então teremos assíntotas horizontais.
Vamos começar com
Esse é aquele limite que temos de polinômio sobre polinômio, com indo para .
Então para resolvê-los temos que colocar o termo de maior grau em evidência no numerador e depois a mesma coisa no denominador para simplificarmos e acharmos a resposta.
Vamos trabalhar só com a fração, depois colocamos no limite
Passo 2
O nosso numerador é
Aqui só temos termo, então não precisamos colocar ninguém em evidência.
Passo 3
O nosso denominador vai ser
Colocando em evidência
Passo 4
A nossa fração vai ficar
Agora, vamos tomar o limite
Lembrando que o limite de um número sobre é sempre , vamos ter
Assim, temos
Como uma assíntota horizontal.
Passo 5
Vamos para o outro limite
Temos a mesma situação de antes, então já podemos utilizar aquela fração final
Teremos
Como assíntota horizontal.
Passo 6
A assíntota vertical é o valor de que ao tomarmos o limite ele vai para ou para .
Para acharmos essas assíntotas, precisamos calcular o limite em alguns candidatos.
Quem são eles?
Como aqui temos uma fração, os candidatos serão os que zeram o denominador.
Nesse caso
Aplicando Bhaskaras, vamos ter
Para o cálculo da assíntota, devemos separar nos limites laterais para cada que achamos. Ou seja, calcular
E
E
Passo 7
Começando com
Que vai ser
Opa, deu um número sobre . Então esse limite vai para ou para . Basta olharmos o sinal de próximo de , neste caso, pela direita.
Para analisar o sinal do denominador, vamos olhar como fica a função de segundo grau
Olhando para valores a direita de , vamos ter que ele vai ser positivo.
O nosso numerador vai ser , em vai ficar que é positivo.
Assim, nossa fração vai ser positivo, porque é divisão de positivo com positivo, para valores maiores que .
E isso nos diz que
Passo 8
Começando com
Que vai ser
Opa, deu um número sobre . Então esse limite vai para ou para . Basta olharmos o sinal de próximo de , neste caso, pela esquerda.
Para analisar o sinal do denominador, vamos olhar como fica a função de segundo grau
Olhando para valores a esquerda de , vamos ter que ele vai ser negativo.
O nosso numerador vai ser , em vai ficar que é positivo.
Assim, nossa fração vai ser negativa, porque é divisão de positivo com negativo, para valores menores que .
E isso nos diz que
Como achamos pelo menos um dos limites laterais indo para , nessa questão os dois né rs
Temos que
Passo 9
Agora o outro limite
Que vai ser
Opa, deu um número sobre . Então esse limite vai para ou para . Basta olharmos o sinal de próximo de , neste caso, pela direita.
Para analisar o sinal do denominador, vamos olhar como fica a função de segundo grau
Olhando para valores a direita de , vamos ter que ele vai ser negativo.
O nosso numerador vai ser , em vai ficar que é negativo.
Assim, nossa fração vai ser positiva, porque é divisão de negativo com negativo, para valores maiores que .
E isso nos diz que
Passo 10
Começando com
Que vai ser
Opa, deu um número sobre . Então esse limite vai para ou para . Basta olharmos o sinal de próximo de , neste caso, pela esquerda.
Para analisar o sinal do denominador, vamos olhar como fica a função de segundo grau
Olhando para valores a esquerda de , vamos ter que ele vai ser positivo.
O nosso numerador vai ser , em vai ficar que é negativo.
Assim, nossa fração vai ser negativa, porque é divisão de positivo com negativo, para valores menores que .
E isso nos diz que
Como achamos pelo menos um dos limites laterais indo para , nessa questão os dois né rs
Temos que
Passo 11
As assíntotas verticais são
Vamos juntar com nossa assíntota horizontal
E ver como fica o esboço.
O esboço vai ficar
Resposta
Assíntota horizontal:
Assíntota vertical:
