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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.5 - Ex. 36

Ache o limite

lim t → + ∞ ⁡ t + t + t t + 1

Sugestão: Primeiro obtenha uma fração com um numerador racional.

Passo 1

Esse é aquele limite que temos de polinômio sobre polinômio, com x indo para ∞ .

Pera, mas tem uma raiz? Não importa. Tem um polinômio dentro da Raiz? Então vamos usar a mesma ideia desse tipo de questão.

Para resolvê-los temos que colocar o termo de maior grau em evidência no numerador e depois a mesma coisa no denominador para simplificarmos e acharmos a resposta.

Vamos trabalhar só com a fração, depois colocamos no limite

t + t + t t + 1

Passo 2

O nosso numerador é

t + t + t

Vamos primeiro escrever t em forma de potência.

t = t 1 2

Agora, vamos colocar t em evidência em t + t 1 2

t 1 + 1 t 1 2

Colocando isso na nossa expressão, vamos ter:

t + t + t = t + t 1 + 1 t 1 2

Podemos tirar o t daquela raiz de dentro

t + t 1 + 1 t 1 2

Colocando t como potência de novo

t + t 1 2 1 + 1 t 1 2

Colocamos o t em evidência dentro da raiz maior.

Temos

t 1 + 1 t 1 2 1 + 1 t 1 2

t 1 + 1 t 1 2 1 + 1 t 1 2

Passo 3

O nosso Denominador é

t + 1

Colocando t em evidência dentro da raiz, vamos ter

t 1 + 1 t = t 1 + 1 t

Passo 4

A nossa fração vai ficar

t + t + t t + 1 = t 1 + 1 t 1 2 1 + 1 t 1 2 t 1 + 1 t = 1 + 1 t 1 2 1 + 1 t 1 2 1 + 1 t

Agora, vamos tomar o limite

lim t → + ∞ ⁡ t + t + t t + 1 = lim t → + ∞ ⁡ 1 + 1 t 1 2 1 + 1 t 1 2 1 + 1 t

Lembrando que o limite de um número sobre ∞ é sempre 0 , vamos ter

lim t → + ∞ ⁡ 1 + 1 t 1 2 1 + 1 t 1 2 1 + 1 t = 1 + 0 1 + 0 1 + 0 = 1 1 = 1

Resposta

1

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