Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.5 - Ex. 37
Encontre as assíntotas horizontal e vertical e trace um esboço do gráfico da função
Passo 1
Vamos começar pelas assíntotas horizontais.
Para encontra-las demos que calcular dois limites
E
Se agum desses limites der algum número, então teremos assíntotas horizontais.
Vamos começar com
Esse é aquele limite que temos de polinômio sobre polinômio, com indo para .
Então para resolvê-los temos que colocar o termo de maior grau em evidência no numerador e depois a mesma coisa no denominador para simplificarmos e acharmos a resposta.
Vamos trabalhar só com a fração, depois colocamos no limite
Passo 2
O nosso numerador é
Colocando em evidência
Passo 3
O nosso denominador vai ser
Colocando em evidência
Passo 4
A nossa fração vai ficar
Agora, vamos tomar o limite
Lembrando que o limite de um número sobre é sempre , vamos ter
Assim, temos
Como uma assíntota horizontal.
Passo 5
Vamos para o outro limite
Temos a mesma situação de antes, então já podemos utilizar aquela fração final
Teremos
Como assíntota horizontal.
Passo 6
A assíntota vertical é o valor de que ao tomarmos o limite ele vai para ou para .
Para acharmos essas assíntotas, precisamos calcular o limite em alguns candidatos.
Quem são eles?
Como aqui temos uma fração, os candidatos serão os que zeram o denominador.
Nesse caso
Para o cálculo da assíntota, devemos separar nos limites laterais, para entender o comportamento da função. Ou seja, calcular
E
Passo 7
Começando com
Que vai ser
Opa, deu um número sobre . Então esse limite vai para ou para . Basta olharmos o sinal de próximo de , neste caso, pela direita.
Pela direita, significa pegar valores maiores que , logo o nosso denominador, que é , vai assumir valores maiores que , sendo positivo.
O nosso numerador vai ser , como está próximo de , ele vai ficar próximo de , então é positivo.
Assim, nossa fração vai ser positiva, porque é divisão de positivo com positivo, para valores maiores que .
E isso nos diz que
Passo 8
Começando com
Que vai ser
Opa, deu um número sobre . Então esse limite vai para ou para . Basta olharmos o sinal de próximo de , neste caso, pela esquerda.
Pela esquerda, significa pegar valores menores que , logo o nosso denominador, que é , vai assumir valores menores que , sendo negativo.
O nosso numerador vai ser , como está próximo de , ele vai ficar próximo de , então é positivo.
Assim, nossa fração vai ser negativa, porque é divisão de positivo com negativo, para valores maiores que .
E isso nos diz que
Passo 9
Como achamos pelo menos um dos limites laterais indo para , nessa questão os dois né rs
Temos que
É assíntota vertical.
Vamos juntar com nossa assíntota horizontal
E ver como fica o esboço.
O esboço vai ficar
Resposta
Assíntota horizontal:
Assíntota vertical:
