Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.4 - Ex. 18
Ache a massa total e o centro de massa
18. O comprimento da barra é 10 m e a medida da densidade linear em um ponto é uma função linear da medida da distância do ponto ao extremo esquerdo da barra. A densidade linear no extremo esquerdo da barra. A densidade linear no extremo esquerdo é 2 kg/m e no extremo direito é de 3 kg/m.
Passo 1
O primeiro passo e encontrar a densidade, já que uma vez encotrada a função da densidade podemos integra-la para achar a massa total e logo depois o centro de massa.
O exercício nos diz que a densidade é uma função linear, ou seja, ela pode ser esxrita da seguinte forma:
onde é a medida da distância em relação ao começo da barra.
Passo 2
O exercico ainda fornce duas outras informações.
1-a densidade no extremo esquerdo é 2 kg/m. Como o extremo esquedo é a posição zero, podemos escrever da seguinte forma: .
2-a densidade no extremo direito é 3 kg/m. Como o extremo direito é a ultima posição que a barra ocupa, então é o próprio comprimento da barra. Podemos escrever então: .
Agora que sabemos essas informações podemos usar um sistems para achar a densidade da barra.
, logo substituindo na segunda equação:
Com isso temos que a densidade dessa barra é escrita da seguinte forma:
Passo 3
Agora para achar a massa total usaremos a seguinte relação:
Onde nessa equação 𝞀 é a densidade do corpo e l é o comprimento da barra.
Com isso temos que a massa total pode ser expressa pela seguinte relação:
Isso é, a massa total vai ser a integral da densidade.
Achamos então a massa total da barra.
Passo 4
Para achar o centro de massa usaremos a seguinte relação:
Onde l é o comprimento da barra e é a densidade.
Portanto temos a seguinte equação para o centro de massa:
Resposta
Massa total:
Centro de massa: