Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.2 - Ex. 7
Ache o número no intervalo , tal que a diferença entre o número seu quadrado seja um máximo.
Passo 1
Essas questões têm um jeito bem metódico de resolver, saca só:
- Precisamos de uma equação que associe a variável que queremos maximizar e outra variável do problema. Essa é normalmente a parte mais difícil do problema.
- Depois que temos essa função, vamos encontrar a derivada dela e procurar os valores onde ela se iguala a e os valores onde ela não existe.
- A partir do Teorema do Valor Extremo vamos encontrar os máximos e mínimos comparando os valores da função original nos extremos do intervalo e nos pontos onde a derivada é nula ou inexistente.
Passo 2
Podemos escrever a diferença entre um número e seu quadrado dessa maneira:
Como temos um intervalo fechado que a questão definiu, vamos checar logo o valor da função em cada um dos extremos. Podemos reescrever a função como:
Assim vemos que tanto para e .
Passo 3
Então seu máximo está dentro desse intervalo fechado! Vamos derivar a função:
Igualando isso a ficamos com:
Ou seja:
Esse será o valor extremo que está no interior do intervalo fechado! Mas como podemos ter certeza que ele é um máximo e não um mínimo? Pensa comigo: se temos um número positivo menor que e elevamos esse numero ao quadrado, o resultado é maior ou menor do que o número original? Menor! Então se fizermos no interior desse intervalo teremos números positivos. Mas nós já concluímos que , então esses dois valores são mínimos globais, pois para os outros valores dentro desse intervalo, teremos valores positivos. Daí podemos concluir que é de fato um máximo absoluto e não um mínimo!
Passo 4
Vamos fazer só por desencargo de consciência, pois já sabemos que ele é um máximo.