Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.2 - Ex. 17
Consulte o Exercício 39, da série de Exercícios 3.2. Uma excursão de uma escola que pode acomodar até 250 estudantes custará por estudante, se no máximo 150 fizerem a viagem, contudo, o custo por estudante será reduzido em para cada estudante que exceder 150, até que o custo seja por estudante. Quantos estudantes devem fazer a viagem pare que a escola receba a maior renda bruta?
Passo 1
Essas questões têm um jeito bem metódico de resolver, saca só:
- Precisamos de uma equação que associe a variável que queremos maximizar e outra variável do problema. Essa é normalmente a parte mais difícil do problema.
- Depois que temos essa função, vamos encontrar a derivada dela e procurar os valores onde ela se iguala a e os valores onde ela não existe.
- A partir do Teorema do Valor Extremo vamos encontrar os máximos e mínimos comparando os valores da função original nos extremos do intervalo e nos pontos onde a derivada é nula ou inexistente.
Passo 2
Precisamos da função renda da escola. Vamos passo a passo com as informações que o problema dá, porque dá pra se perder facinho. A quantidade de estudantes será a nossa variável .
A função renda é:
Para valores de , teremos uma função linear:
Para valores acima de vamos ficar com a seguinte função:
Repare que estamos multiplicando a quantidade de alunos pelo preço de cada aluno a partir de alunos. O preço será pois para cada aluno acima de , teremos de desconto.
Passo 3
Para o primeiro caso:
dá pra ver que o maior valor da renda será o maior valor de no domínio, ou seja,
Agora vamos ver para o caso que temos mais que alunos:
Para achar o máximo precisamos derivar a função e encontrar onde ela zera:
Passo 4
Agora vamos fazer e ver se temos um valor maior que que obtemos anteriormente.
Temos um valor maior do que o anterior, então a quantidade de alunos mais lucrativa para a escola é 225 alunos.