Ache os números críticos da função dada.

f(x) = (x^3 - 3x^2 + 4)^(1/3)

Passo 1

A questão pede para acharmos os números críticos da função. É importante lembrar que os pontos críticos de uma função são os pontos do domínio da função em que f^' (x) = 0 ou que f ' não existe. Assim, basta derivar a função e depois procurar os pontos críticos!

Derivando f pela regra da cadeia:

f^' (x) = (1)/(3) (x^3 - 3 x^2 + 4)^(- 2 // 3) * (x^3 - 3 x^2 + 4)^' = (3 x^2 - 6 x)/(3 (x^3 - 3 x^2 + 4)^(2 // 3))

Podemos reescrever o numerador como 3 x (x - 2) . Já o denominador pode ser fatorado como x^3 - 3 x^2 + 4 = (x + 1) (x^2 - 4 x + 4) = (x + 1) (x - 2)^2 . Assim,

f^' (x) = (3 x (x - 2))/(3 (x + 1)^((2)/(3)) (x - 2)^((4)/(3))) = (x)/((x + 1)^((2)/(3)) (x - 2)^((1)/(3)))

Passo 2

Como f ' não é definida em x = - 1 e x = 2 , e esses pontos estão no domínio da função, eles são pontos críticos. Além deles, igualando f^' (x) = 0 :

(x)/((x + 1)^((2)/(3)) (x - 2)^((1)/(3))) = 0 => x = 0

Assim, os pontos críticos de f são

x = - 1 , x = 0 e x = 2

Resposta

x = - 1 , x = 0 e x = 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados