Ache os números críticos da função dada.

f(x) = (x^3 - 3x^2 + 4)^(1/3)

Passo 1

A questão pede para acharmos os números críticos da função. É importante lembrar que os pontos críticos de uma função são os pontos do domínio da função em que f ' x = 0 ou que f ' não existe. Assim, basta derivar a função e depois procurar os pontos críticos!

Derivando f pela regra da cadeia:

f ' x = 1 3 x 3 - 3 x 2 + 4 - 2 / 3 ⋅ x 3 - 3 x 2 + 4 ' = 3 x 2 - 6 x 3   x 3 - 3 x 2 + 4 2 / 3

Podemos reescrever o numerador como 3 x x - 2 . Já o denominador pode ser fatorado como x 3 - 3 x 2 + 4 = x + 1 x 2 - 4 x + 4 = x + 1 x - 2 2 . Assim,

f ' x = 3 x x - 2 3   x + 1 2 3 x - 2 4 3 = x x + 1 2 3 x - 2 1 3

Passo 2

Como f ' não é definida em x = - 1 e x = 2 , e esses pontos estão no domínio da função, eles são pontos críticos. Além deles, igualando f ' x = 0 :

x x + 1 2 3 x - 2 1 3 = 0 ⇒ x = 0

Assim, os pontos críticos de f são

x = - 1 ,         x = 0           e           x = 2

Resposta

x = - 1 ,         x = 0           e           x = 2

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