Ache os números críticos da função dada.

g(t) = sen 2t \* cos 2t

Passo 1

A questão pede para acharmos os números críticos da função. É importante lembrar que os pontos críticos de uma função são os pontos do domínio da função em que g ' t = 0 ou que g ' não existe. Assim, basta derivar a função e depois procurar os pontos críticos!

O domínio de g é a reta real toda. Tomando a derivada pela regra do produto:

g ' t = s e n   2 t ' ⋅ cos ⁡ 2 t + s e n   2 t ⋅ cos ⁡ 2 t ' = 2 cos 2 ⁡ 2 t - 2   s e n 2 2 t

Usando que cos ⁡ 2 θ = cos 2 ⁡ θ - s e n 2 2 θ temos que:

g ' t = 2 cos ⁡ 4 t

Como g ' é definida em todos os pontos, os números críticos de g serão apenas os que anulam a derivada.

Passo 2

Agora vamos igualar a derivada a 0 :

2 cos ⁡ 4 t = 0 ⇒ cos ⁡ 4 t = 0

Assim,

4 t = π 2 + n π ,           n ∈ Z

Desta forma, os pontos críticos de g serão

t = π 8 + n π 4 ,         n ∈ Z

Resposta

t = π 8 + n π 4 ,         n ∈ Z

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