Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.5 - Ex. 45
Em um certo processo de fabricação química, o peso diário de produção defeituosa depende do peso de toda a produção, de acordo com a fórmula empírica:
Onde e estão em quilos. Se o lucro for por kg do produto químico sem defeito e a perda for de por kg de produto químico defeituoso produzido, quantos quilos do produto devem ser produzidos diariamente para maximizar o lucro diário total?
Passo 1
Então pessoal, o grande problema dessa questão é a interpretação de como se dá o lucro dessa empresa, fábrica, indústria ou sei lá! Em essência, temos que o lucro da empresa tem que respeitar a seguinte relação:
Então o que temos que fazer é determinar quem seriam as expressões do lucro e da perda, certo? Então vamos lá!
Passo 2
A produção defeituosa depende do quanto é produzido e isso é dado pela fórmula:
O produto não defeituoso é a diferença entre o que é produzido e o quanto é defeituoso, certo? Então:
No entanto, o lucro desse produto sem defeito é , então o lucro seria o seguinte:
Ademais, a perda por produto defeituoso é , então a expressão associada a perda seria:
Logo, a expressão de lucro total da empresa ficaria assim:
Mas:
Substituindo:
Show!
Passo 3
Ok, determinamos a expressão que queríamos! Para determinarmos o lucro máximo devemos utilizar os conceitos de cálculo que aprendemos, galera! Derivando nossa função e igualando a zero, teremos:
Disso tiramos que:
Sendo assim, temos que quilos do produto devem ser produzidos diariamente para maximizar o lucro diário total!