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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.3 - Ex. 14

Ache a solução completa da equação diferencial (14) d ² u d v ² = t g v   s e c ² v .

Passo 1

Uma equação contendo derivadas é chamada de equação diferencial. Um tipo de equação diferencial é a de segunda ordem, da forma d ² y d x ² = f ( x ) , assim como a equação do nosso exercício! O primeiro passo é escrever essa derivada dupla de uma outra forma.

d 2 y d x 2 = d d x d y d x

O segundo passo é tomar y ' = d y d x e aí reescever a equação diferencial. Vamos fazer isso aplicando no nosso exercício.

d ² u d v ² = d u ' d v = t g v   s e c ² v d u ' = ( t g v   s e c ² v ) d v ∫ d u ' = ∫ ( t g v   s e c ² v ) d v

Passo 2

Resolvendo a integral teremos:

∫ d u ' = ∫ ( t g v   s e c ² v ) d v Vamos fazer uma substituição de variável para ficar mais fácil de integrar. Seja a = t g v   → d a = s e c ² v d v . Substituindo na integral temos:

u ' = ∫ a d a u ' = a 2 2 + K 1 u ' = t g v 2 + K 1

No entanto, u ' = d u d v ! Fazendo essa substituição:

d u d v = t g ² v 2 + K 1 d u = t g ² v 2 + K 1 d v ∫ d u = ∫ t g ² v 2 + K 1 d v

Passo 3

Resolvendo as integrais finais temos:

∫ d u = ∫ t g ² v 2 + K 1 d v

Sabemos que t g 2 x = s e c 2 x - 1 . Assim,

∫ d u = ∫ s e c 2 v - 1 2 + K 1 d v u = ∫ s e c 2 v 2 d v - ∫ 1 2 d v + ∫ K 1 d v

E a integral de sec 2 ⁡ x , nós também conhecemos:

∫ sec 2 ⁡ x = t g x + K

Logo, resolvendo a integral:

u = ∫ s e c 2 v 2 d v - ∫ 1 2 d v + ∫ K 1 d v

u = 1 2 t g v - v 2 + K 1 v + K 2

Se liga para não esquecer da nova constante que vai aparecer, o K 2 !  

Organizando um pouco as coisas, ficaremos com:

u = 1 2 t g v + v K 1 - 1 2 + K 2

Resposta

A solução completa da equação diferencial é:

u = 1 2 t g v + v K 1 - 1 2 + K 2

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