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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.3 - Ex. 19

Ache a solução completa da equação diferencial dada, determinada pelas condições iniciais (19) d ² u d v ² = 4 ( 1 + 3 v ) ² ; u = - 1   e d u d v = - 2   q u a n d o   v = - 1 .

Passo 1

Uma equação contendo derivadas é chamada de equação diferencial. Um tipo de equação diferencial é a de segunda ordem, da forma d ² y d x ² = f ( x ) , assim como a equação do nosso exercício! O primeiro passo é escrever essa derivada dupla de uma outra forma.

d 2 y d x 2 = d d x d y d x

O segundo passo é tomar y ' = d y d x e aí reescever a equação diferencial. Vamos fazer isso aplicando no nosso exercício.

d 2 u d v 2 = d u ' d v = 4 1 + 3 v 2 d u ' = 4 1 + 3 v 2 d v ∫ d u ' = ∫ 4 1 + 3 v 2 d v ∫ d u ' = ∫ 4 1 + 6 v + 9 v 2 d v

Passo 2

Resolvendo a integral teremos:

∫ d u ' = ∫ 4 1 + 6 v + 9 v 2 d v u ' = 4 v + 6 v 2 2 + 9 v 3 3 + K 1 u ' = 4 v + 12 v 2 + 12 v 3 + K 1

Passo 3

Aplicando as condições inicias na equação encontrada temos:

d u d v = - 2   q u a n d o   v = - 1 - 2 = 4 * ( - 1 ) + 12 * ( - 1 ) 2 + 12 * ( - 1 ) 3 + K 1 - 2 = - 4 + 12 - 12 + K 1 K 1 = 2

Portanto,

u ' = 4 v + 12 v 2 + 12 v 3 + 2

Passo 4

No entanto, u ' = d u d v ! Fazendo essa substituição:

d u d v = 4 v + 12 v 2 + 12 v 3 + 2 d u = 4 v + 12 v 2 + 12 v 3 + 2 d v ∫ d u = ∫ 4 v + 12 v 2 + 12 v 3 + 2 d v u = 4 v 2 2 + 12 v 3 3 + 12 v 4 4 + 2 v + K 2 u v = 2 v 2 + 4 v 3 + 3 v 4 + 2 v + K 2

Passo 5

Aplicando as condições iniciais na equação encontrada:

u = - 1   q u a n d o   v = - 1 - 1 = 2 * - 1 2 + 4 * - 1 3 + 3 * - 1 4 + 2 * - 1 + K 2 - 1 = 2 - 4 + 3 - 2 + K 2 K 2 = 0

Portanto,

u v = 2 v 2 + 4 v 3 + 3 v 4 + 2 v

Resposta

A solução completa da equação diferencial é:

u v = 2 v 2 + 4 v 3 + 3 v 4 + 2 v

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