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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.3 - Ex. 7

Ache a solução completa da equação diferencial (7) d u d v = 3 v ( 1 + u 2 ) u .

Passo 1

Uma equação contendo derivadas é chamada de equação diferencial. O tipo mais simples de equação diferencial é a equação de primeira ordem da forma d y d t = f x f ( y ) , assim como a equação do nosso exercício! Escrevendo essaequação com diferenciais, temos

f ( y ) d y = f x d x

Podemos ver que o primeiro membro envolve somente a variável y, enquanto que o segundo membro, somente a variável x. Assim, as variáveis estão separadas e dizemos que elas são equações diferenciais com variáveis separáveis. Como resolver esse tipo de equação? Aplicamos a integração dos dois lados da igualdade!

d u d v = 3 v ( 1 + u 2 ) u u ( 1 + u 2 ) d u = 3 v d v ∫ u ( 1 + u 2 ) d u = ∫ 3 v d v

Passo 2

Vamos separar essa solução das integrais em duas. Apelidaremos a integral do lado esquerdo da igualdade de A e do lado direito B. Para resolvermos a integral A, vamos fazer uma substituição de variáveis. Seja a = 1 + u ² . Aplicando a diferenciação dos dois lados da igualdade temos:

d a = 2 u d u d a 2 = u d u

Substituindo na integral A a variável temos:

A = ∫ d a 2 a = ∫ a - 1 2 d a 2

Passo 3

Resolvendo a integral A:

A = ∫ a - 1 2 d a 2 A = 1 2 ∫ a - 1 2 d a A = 1 2 a 1 2 1 2 + K A = 2 2 1 + u 2 1 2 + K A = 1 + u 2 1 2 + K

Passo 4

Resolvendo a integral B:

B = ∫ 3 v d v B = 3 v 2 2 + K

Passo 5

Juntando as duas respostas temos:

1 + u 2 1 2 + K 1 = 3 v 2 2 + K 2 1 + u 2 1 2 = 3 2 v 2 + K

Resposta

A solução completa da equação diferencial é:

1 + u 2 1 2 = 3 2 v 2 + K

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Ache a solução completa da equação diferencial (8) d y d x = x ² ( x 3 - 3 ) y ² ² ².
Ache a solução completa da equação diferencial (3) d y d t = 3 x 2 + 2 x - 7 .
Ache a solução completa da equação diferencial (4) d s d t = 5 s .
Ache a solução completa da equação diferencial (13) d ² s d t ² = s e n 3 t + c o s 3 t ² ² .
Ache a solução completa da equação diferencial (14) d ² u d v ² = t g vs e c ² v ² ² ² .