Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.3 - Ex. 10
Comprove que as hipóteses do teorema do valor médio estão satisfeitas pela função dada no intervalo indicado. Ache, então, um valor adequado de que satisfaça a conclusão do teorema do valor médio.
Passo 1
Observe que, como é um quociente é preciso garantir que seu denominador sempre seja diferente de zero. Assim:
Logo o domínio de é dado por:
Como , e é a divisão de funções contínuas neste intervalo, temos que é contínua em [2, 6].
Passo 2
Note que é derivável em todo seu domínio, assim é derivável no intervalo (2, 6).
Passo 3
Observe que satisfaz as condições do teorema do valor médio. Logo existe tal que:
Note que:
E também:
Assim:
Resposta
Escrever só a resposta aqui quando o problema tiver resposta
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Sejaf x = 1 - x 2 3 . Mostre que f - 1 = f ( 1 ) , mas não existe um número c em ( - 1 ,1 ) tal que f ' c = 0 . Por que isso não contradiz o Teorema de Rolle?
Use o gráfico de f dado no Exercício 7 para estimar os valores de c que satisfaçam à conclusão do Teorema do Valor Médio para o intervalo [ 1 ,7 ] .
Verifique que a função satisfaz as três hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo dado. Então, encontre todos os números c que satisfazem à conclusão do Teorema de Rolle. f x = cos 2 x ,π 8 , 7 π 8
Em cada parte, determine se todas as hipóteses do Teorema de Rolle estão verificadas no intervalo dado. Caso não estiverem, indique qual é a hipótese que está falhando; se estiverem, encontre todos os
Seja f x = x - 3 - 2 . Mostre que não existe um valor de c em ( 1,4 ) tal que f 4 - f 1 = f ' ( c ) ( 4 - 1 ) . Por que isso não contradiz o Teorema do Valor Médio?