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Enunciado

Cálculo - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 2- Ed: 6º - Capítulo 5.2 - Ex. 4

4. Sejam L 1 e L 2 dois operadores diferenciais com coeficientes constantes. É verdade que L 1 L 2 = L 2 L 1 ?

Passo 1

No meio do capítulo foi mostrado que:

L 1 L 2 = L 1 ∘ L 2

Então vamos fazer a compasta L 1 ∘ L 2 e depois a composta L 2 ∘ L 1 e ver se é igual.

Com:

L 1 = a 0 + a 1 D + … + a n D n

L 2 = b 0 + b 1 D + … + b m D m

Vamos lá...

Passo 2

Fazendo primeiro L 1 ∘ L 2 ... (pegando a cola já do livro)

L 1 ∘ L 2 = b 0 a 0 + b 0 a 1 + b 1 a 0 D + b 0 a 2 + b 1 a 1 + b 2 a 0 D 2 + … + b m a n D m + n

L 1 ∘ L 2 = a 0 + a 1 D + … + a n D n b 0 + b 1 D + … + b m D m

Na verdade é besteira a gente fazer L 2 ∘ L 1 do zero, pois as parcelas de L 1 ∘ L 2   são comutativas:

a 0 + a 1 D + … + a n D n b 0 + b 1 D + … + b m D m = b 0 + b 1 D + … + b m D m a 0 + a 1 D + … + a n D n

Então, sim...

L 1 L 2 = L 2 L 1

Resposta

L 1 L 2 = L 2 L 1

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