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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.8 - Ex. 12

Ache a solução completa para a equação diferencial:

cos ⁡ x d y d x = 2 + 2 y sen ⁡ x  

Passo 1

Para verificar que a equação diferencial é de primeira ordem em y , devemos coloca-la na forma:

d y d x + P x y = Q ( x )

Supondo cos ⁡ x ≠ 0 e dividindo a equação por cos ⁡ x , temos:

d y d x = 2 cos ⁡ x + 2 y sen ⁡ x cos ⁡ x ⇒ d y d x - 2 y tg ⁡ x = 2 sec ⁡ x

com P x = - 2 tg ⁡ x e Q x = 2 sec ⁡ x . O fator de integração pelo qual devemos multiplicar a equação é então e ∫ P x d x .

Passo 2

Calculamos o fator de integração:

∫ P x d x = ∫ - 2 tg ⁡ x d x = 2 ∫ - sen ⁡ x cos ⁡ x d x = 2 ∫ d cos ⁡ x cos ⁡ x = 2 ln ⁡ | cos ⁡ x | + k

O fator de integração é então:

e ∫ P x d x = e 2   l n ⁡ | cos ⁡ x | = e ln ⁡ cos ⁡ x 2 = cos ⁡ x 2 = cos 2 ⁡ x

Multiplicando a equação diferencial por cos 2 ⁡ x :

cos 2 ⁡ x   d y d x - cos 2 ⁡ x 2 sen ⁡ x cos ⁡ x y = cos 2 ⁡ x 2 cos ⁡ x ⇒ cos 2 ⁡ x   d y d x - 2 y cos ⁡ x sen ⁡ x = 2 cos ⁡ x

Passo 3

Como d cos 2 ⁡ x d x = - 2 cos ⁡ x sen ⁡ x , temos:

cos 2 ⁡ x   d y d x + d cos 2 ⁡ x d x y = 2 cos ⁡ x ⇒ d y cos 2 ⁡ x d x = 2 cos ⁡ x

Agora integrando:

∫ d y cos 2 ⁡ x = ∫ 2 cos ⁡ x d x

⇒ y cos 2 ⁡ x = 2 sen ⁡ x + C ⇒ y = 2 sen ⁡ x + C cos 2 ⁡ x = 2 sec ⁡ x tg ⁡ x + C sec 2 ⁡ x

Resposta

y = 2 sec ⁡ x tg ⁡ x + C sec 2 ⁡ x

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