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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.3 - Ex. 9

Calcule a integral indefinida.

int (1)/(sqrt(2 - 5 x^2)) d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral indefinida usando as fórmulas de primitivas que envolvem funções trigonométricas inversas.

Precisamos transformar a expressão em

(1)/(sqrt(1 - u^2))

Assim a integral fica simples e da origem a um arco seno. Para isso, note que

(1)/(sqrt(2 - 5 x^2)) = (1)/(sqrt(2 - (sqrt(5) x)^2))

Assim, vamos chamar t = sqrt(5) x , com d t = sqrt(5) d x :

I = int (1)/(sqrt(2 - 5 x^2)) d x = (1)/(sqrt(5)) int (1)/(sqrt(2 - t^2)) d t

Agora vamos fazer t = sqrt(2) u , de modo que d t = sqrt(2) d u :

I = (1)/(sqrt(5)) int (1)/(sqrt(2 - 2 u^2)) * sqrt(2) d u = (1)/(sqrt(5)) int (1)/(sqrt(1 - u^2)) d u

Passo 2

Agora podemos fazer a integração:

I = (1)/(sqrt(5)) a r c s e n u + C

Como u = t // sqrt(2) , segue que

I = (1)/(sqrt(5)) a r c s e n (t)/(sqrt(2)) + C

Por fim, como t = sqrt(5) x :

I = (1)/(sqrt(5)) a r c s e n (x sqrt(5))/(sqrt(2)) + C

Resposta

(1)/(sqrt(5)) a r c s e n (x sqrt(5))/(sqrt(2)) + C

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