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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 9.3 - Ex. 16

Ache a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada.

d y d t = t e y ,           y 1 = 0

Passo 1

A questão pede para resolvermos a equação diferencial. Neste caso, temos

d y d t = t e y

Note que essa equação é separável e pode ser reescrita como

d y e y = t   d t

Passo 2

Integrando de ambos os lados:

∫ e - y   d y = ∫ t   d t

Efetuando as integrais:

- e - y = t 2 2 + C

Agora vamos usar a condição y 1 = 0 :

- e 0 = 1 2 2 + C ⇒ - 1 = 1 2 + C ⇒ C = - 1 - 1 2 = - 3 2

Portanto,

- e - y = t 2 2 - 3 2 ⇒ e - y = 1 2 3 - t 2

Logo,

- y = ln ⁡ 3 - t 2 2 ⇒ y = - ln ⁡ 3 - t 2 2

Assim,

y = ln ⁡ 2 3 - t 2

Resposta

y = ln ⁡ 2 3 - t 2

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