Encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas.

y = (x + k)^(-1)

Passo 1

O problema pede para achar as trajetórias ortogonais as curvas dadas. Para isso, o prosseguimento é o seguinte:

Primeiro achamos a inclinação das tangentes tomando as derivadas:

m = y '

Como queremos a trajetórias ortogonais, a inclinação das curvas que procuramos é dada por

m ' = - 1 m

Neste caso, temos

y = 1 x + k

Portanto,

y ' = - 1 x + k 2

Mas sabemos que x + k = 1 / y , de modo que

y ' = - 1 1 y 2 = - y 2

Portanto,

m = - y 2

Passo 2

Desta forma, a inclinação das trajetórias ortogonais serão

m ' = 1 y 2

Para achar as curvas y = y ( x ) , basta fazer

d y d x = m ' = 1 y 2

Assim,

y 2   d y = d x

Integrando dos dois lados obtemos a equação para as trajetórias ortogonais:

y 3 3 = x + C

Na figura a seguir esboçamos algumas dessas curvas para diferentes valores de C :

Resposta

y 3 3 = x + C

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