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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 9.3 - Ex. 1

Resolva a equação diferencial.

(d y)/(d x) = (y)/(x)

Passo 1

A questão pede para resolvermos a equação diferencial. Neste caso, temos

(d y)/(d x) = (y)/(x)

Note que essa equação é separável e pode ser reescrita como

(d y)/(y) = (d x)/(x)

Passo 2

Integrando de ambos os lados:

int (d y)/(y) = int (d x)/(x) => ln |y| = ln |x| + C

É muito importante não esquecer de adicionar a constante C na integração e também não esquecer dos módulos quando integramos o log!

Tomando a exponencial dos dois lados:

|y| = e^(ln |x| + C) = e^C * e^(ln |x|) = e^C |x|

Note que e^C > 0 . Tirando o módulo de y :

y = +- e^C |x|

Assim, vamos definir uma constante A = +- e^C que pode ser tanto positiva como negativa. Além disso, note que y = 0 é solução da equação diferencial, que pode ser incorporada se deixarmos A ser zero. Desta forma, A pode ser qualquer número real!

A solução será então

y = A |x| , A in R

Por outro lado, como A pode ser tanto positivo como negativo, podemos incorporar o módulo de x no seu sinal, obtendo uma nova constante:

y = K x , K in R

Resposta

y = K x , K in R

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