Ache a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada.

12. dy/dx = (y * cos(x)) / (1 + y^2) y(0) = 1

Passo 1

Queremos resolver a equação d y d x = y c o s x 1 + y 2 ,     se conseguirmos deixar de um lado termos com somente x e do outro termos com somente y podemos dizer que esta é uma EDO separável, então podemos integrá-la de ambos os lados para encontrar y , dessa forma:

d y d x = y c o s x 1 + y 2

1 + y 2 y d y = c o s x   d x

1 y + y d y = c o s x   d x

Passo 2

Agora podemos integrar do lado esquerdo em função de y e do lado direito em função de x , assim:

∫ 1 y + y d y = ∫ c o s x   d x  

ln ⁡ y + y 2 2 = s e n x + C

Nunca esqueça de que em uma integral indefinida sempre temos uma constante C .

Passo 3

Agora precisamos aplicar o problema de valor inicial para chegar a nossa resposta final.

y 0 = 1

Isso quer dizer que quando temos x = 0 , nosso y = 1 .Vamos substituir esses números na equação que encontramos:

ln ⁡ 1 + 1 2 2 = s e n 0 + C

0 + 1 2 = 0 + C

C = 1 2

Então a solução para nosso problema é:

ln ⁡ y + y 2 2 = s e n x + 1 2

Resposta

12. ln ⁡ y + y 2 2 = s e n x + 1 2

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