Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.2 - Ex. 38

O método esboçado no Problema 30 pode ser usado em qualquer equação homogênea. Ou seja,

a substituição y = xυ(x) transforma uma equação homogênea em uma equação separável. Esta

última equação pode ser resolvida por integração direta, e depois a substituição de υ por y/x

fornece a solução da equação original. Em cada um dos problemas de 31 a 38:

(a) Mostre que a equação dada é homogênea.

(b) Resolva a equação diferencial.

(c) Desenhe um campo de direções e algumas curvas integrais. Elas são simétricas em relação

à origem?

d y d x = 3 y 2   -   x 2 2 x y

Passo 1

  1. e (b) Antes de determinar o comportamento da solução, precisamos encontrar qual é a solução final da EDO acima, é visto que ela é do tipo que pode separar para calcular a solução. A resolução dela é bem parecida com o que fizemos anteriormente em EDO de primeira ordem. Vamos fazera substituiçãode y   =   x v .

Assim, temos:

y   =   x v

d y d x   =   v   +   x   d v d x

v   +   x   d v d x = 3 ( x v ) 2   -   x 2 2 x ( x v )

x d v d x = 3 v 2   -   1 2 v   –   v

x d v d x = 3 v 2   -     2 v 2   -   1 2 v  

x d v d x = v 2   -   1 2 v

2 v   d v v 2   -   1 = d x   x

Passo 2

  1. e (b) Quando olhamos a equação, percebemos que agora ela é uma EDO do tipo separável.

Agora para termos uma equação dependendo de y e de v, basta integrar dos dois lados

Integrando dos dois lados, temos:

∫ d x   x =   ∫ 2 v   d v v 2   -   1  

l n   x = l n   v 2 -   1   +   C

Só que no ínicio consideramos que y   =   x v   →   v   =   y x

Ou seja, temos que:

l n   x = l n   y x 2 -   1   +   C

x 3 = y 2   -   x 2

Passo 3

C) As retas abaixo foram construídas quando C obteve tais valores:

são simétricas em relação a origem.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A população de ratos do campo no Exemplo1 satisfaz a equação diferencial d p d t = 0,5 p - 450 a) Encontre o instante em que a população é extinta se p ( 0 )=850 b) Encontre o instante de extinção se
Use o método do problema 5 para resolver a equação d y d t = - a y + b
Suponha que um prédio perde calor de acordo com a lei do resfriamento de Newton e que a taxa k tem valor 0,15h - 1 . Suponha que a temperatura interior era de 70 ℉( 20 ℃ ) ℉ ℃ quando ocorreu uma falha
A meia vida de um material radioativo é o tempo necessário para que uma quantidade desse material decaia à metade de sua quantidade original.Mostre que, para qualquer material radioativo que decaia de
O rádio – 26 tem uma meia – vida de 1620 anos. Encontre o tempo necessário para que determinada quantidade desse material seja reduzida da quarta parte.