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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.2 - Ex. 32

O método esboçado no Problema 30 pode ser usado em qualquer equação homogênea. Ou seja,

a substituição y = xυ(x) transforma uma equação homogênea em uma equação separável. Esta

última equação pode ser resolvida por integração direta, e depois a substituição de υ por y/x

fornece a solução da equação original. Em cada um dos problemas de 31 a 38:

(a) Mostre que a equação dada é homogênea.

(b) Resolva a equação diferencial.

(c) Desenhe um campo de direções e algumas curvas integrais. Elas são simétricas em relação

à origem?

d y d x =   x 2 +   3 y 2 2 x y

Passo 1

  1. e (b) Antes de determinar o comportamento da solução, precisamos encontrar qual é a solução final da EDO acima, é visto que ela é do tipo que pode separar para calcular a solução. A resolução dela é bem parecida com o que fizemos anteriormente em EDO de primeira ordem. Vamos fazera substituiçãode y   =   x v .

Assim, temos:

d y d x = y '

y ' = v + x v '

d y d x = x 2 +   3 y 2 2 x y

v + x v ' = x 2 +   3 x v 2 2 x x v

v + x v ' = x 2 +   3 x 2 v 2 2 x 2 v

v + x v ' = 1 +   3 v 2 2 v

2 v 2 + 2 v x v ' = 1 +   3 v 2

2 v x v ' = 1 +   v 2

2 v x v ' 1 +   v 2 = 1

2 v v ' 1 +   v 2 = 1 x

2 v 1 +   v 2 d v d x = 1 x

2 v 1 +   v 2 d v = d x x

Passo 2

  1. e (b) Quando olhamos a equação, percebemos que agora ela é uma EDO do tipo separável.

Agora para termos uma equação dependendo de y e de v, basta integrar dos dois lados

Integrando dos dois lados, temos:

∫ 2 v 1 +   v 2   d v =   ∫ d x x  

ln ⁡ v 2 + 1 + c = ln ⁡ x + c '

ln ⁡ v 2 + 1 = ln ⁡ x + c ' '

v 2 + 1 = e ln ⁡ x + c ' '

v 2 + 1 = e ln ⁡ x ∙ e c ' '

v 2 + 1 = x ∙ C

v 2 = C x - 1

Só que no ínicio consideramos que y   =   x v   →   v   =   y x

Ou seja, temos que:

y 2 x 2 = C x - 1

y 2 = C x 2 x - x 2

y 2 = C x 3 - x 2

Passo 3

y 2 = C x 3 - x 2

C) As curvas abaixo foram construídas quando C obteve tais valores:

Curva cinza – C   = 2

Curva vermelha – C   =   3

Curva azul – C   =   4

As curvas são simétricas em relação a origem.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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