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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 5.1 - Ex. 1d

  1. Ache a solução geral.

d) (d x)/(d t) + 2 x = s e n t

Passo 1

Foi provado no livro do Guidorizzi a seguinte solução:

(d x)/(d t) + a x = f (t)

São as funções da forma:

x = k e^(- a t) + e^(- a t) int e^(a t) f (t) d t

Passo 2

Aplicando em nossa questão:

a = 2 , f (t) = s e n t

x = k e^(- (2) t) + e^(- (2) t) int e^((2) t) s e n t d t

Passo 3

Resolvendo,

x = k e^(- 2 t) + e^(- 2 t) int e^(2 t) s e n t d t

= k e^(- 2 t) + e^(- 2 t) (((2 s e n t - c o s t))/(5) e^(2 t))

= k e^(- 2 t) + e^(- 2 t) e^(2 t) (((2 s e n t - c o s t))/(5))

= k e^(- 2 t) + (e^(2 t))/(e^(2 t)) ((2 s e n t - cos t))/(5)

= k e^(- 2 t) + (2 s e n t - cos t)/(5)

Resposta

x = k e^(- 2 t) + (2 s e n t - c o s t)/(5)

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