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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.1 - Ex. 34

Ache o valor exato da quantidade dada.

cos (a r c s e n (- (1)/(2)) + a r c s e n (1)/(4))

Passo 1

A questão pede para calcularmos o valor das expressões. O primeiro passo é lembrar da fórmula do cosseno da soma:

cos (a + b) = cos a cos b - s e n a s e n b

Assim, como a r c s e n (- (1)/(2)) = - (pi)/(6) , temos que

cos (a r c s e n (- (1)/(2)) + a r c s e n (1)/(4)) = cos (- (pi)/(6)) cos (a r c s e n (1)/(4)) - s e n (- (pi)/(6)) s e n (a r c s e n (1)/(4))

Assim, vamos ter

cos (a r c s e n (- (1)/(2)) + a r c s e n (1)/(4)) = (sqrt(3))/(2) cos (a r c s e n (1)/(4)) + (1)/(2) * (1)/(4)

Portanto

cos (a r c s e n (- (1)/(2)) + a r c s e n (1)/(4)) = (sqrt(3))/(2) cos (a r c s e n (1)/(4)) + (1)/(8)

Passo 2

Para calcular cos (a r c s e n (1)/(4)) vamos fazer

x = a r c s e n (1)/(4) => s e n x = (1)/(4)

Assim, pela relação fundamental:

(1)/(16) + cos^2 x = 1 => cos x = +- (sqrt(15))/(4)

Como x está no primeiro quadrante,

cos x = cos (a r c s e n (1)/(4)) = (sqrt(15))/(4)

Assim,

cos (a r c s e n (- (1)/(2)) + a r c s e n (1)/(4)) = (sqrt(3))/(2) * (sqrt(15))/(4) + (1)/(8)

Logo,

cos (a r c s e n (- (1)/(2)) + a r c s e n (1)/(4)) = (1 + 3 sqrt(5))/(8)

Resposta

(1 + 3 sqrt(5))/(8)

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