Expresse log_9(x) / log_3(x) como razão de logaritmo natural e simplifique.

Passo 1

Olá! Pra essa questão nós PRECISAMOS saber essa relação aqui: l o g a   x   =   l n   x l n   a , para todo a > 0 e a ≠ 1 . Olha só, tá vendo que na expressão que o exercício pediu pra simplificar (essa aqui l o g 9   x l o g 3   x ), temos log em cima e log embaixo da fração? Então a gente vai ter que fazer a relação separado pro que tá em cima e pro que tá embaixo. Isso a gente vai fazer no Passo 2.

Passo 2

Pro que tá em cima ( l o g 9   x ) , a relação fica assim:

l o g 9   x   =   l n   x l n   9

Pro que tá embaixo ( l o g 3   x ) , a relação fica assim:

l o g 3   x   =   l n   x l n   3

Passo 3

Agora, o exercício quer l o g 9   x l o g 3   x , né? Então vamos jogar as relações aí, assim:

  l o g 9   x l o g 3   x   =   l n   x l n   9   l n   x l n   3  

Agora, usando a propriedade de divisão de frações… (é aquela do “repete a primeira e multiplica pelo inverso da segunda”)

l o g 9   x l o g 3   x   =     l n   x l n   9   ⋅   l n   3 l n   x

Cortando o l n   x de cima com o de baixo…

l o g 9   x l o g 3   x   = l n   3 l n   9  

Mas repara que l n   9 = l n   3 2   =     2   l n   3 por causa da propriedade que desce o expoente que tá dentro do log. Então:

l n   3 l n   9   =     l n   3 2   l n   3   =   1 2

porque a gente corta o l n   3 de cima com o debaixo.

Resposta

1 2

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