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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.1 - Ex. 18

Ache o valor exato da quantidade dada:

  1. cos^(- 1) (cos (pi)/(4))
  2. cos^(- 1) (cos (- (pi)/(4)))
  3. cos^(- 1) (cos (3 pi)/(4))
  4. cos^(- 1) (cos (5 pi)/(4))

Passo 1

  1. cos^(- 1) underset((sqrt(2))/(2))(ubrace (cos (pi)/(4)))

    2. Devemos lembrar aqui que 0 <= cos^(- 1) x <= pi , ou seja, todos os resultados devem ser ângulos do primeiro ou segundo quadrante.

    Neste caso, temos cos^(- 1) (sqrt(2))/(2) = (pi)/(4) in [ 0 , pi ] . Então,

    cos^(- 1) (cos (pi)/(4)) = (pi)/(4)

    Passo 2

  2. cos^(- 1) underset((sqrt(2))/(2))(ubrace (cos (- (pi)/(4))))

    3. Neste caso, temos cos^(- 1) ((sqrt(2))/(2)) = (pi)/(4) in [ 0 , pi ] . Ou seja,

    cos^(- 1) (cos (- (pi)/(4))) = (pi)/(4)

    Passo 3

  3. cos^(- 1) (cos (3 pi)/(4))

    4. Vamos converter radianos para graus usando a fórmula alpha = (180 ° * theta)/(pi) em que theta é o ângulo em radianos. Dessa forma fica mais fácil conhecer os valores. Seja então:

    alpha = (180 ° * (3 pi)/(4))/(pi) = 135 °

    Portanto, cos^(- 1) (cos (3 pi)/(4)) = cos^(- 1) ( cos 135 ° ) = cos^(- 1) underset(- cos 45 °)(ubrace (- cos ( 180 ° - 135 ° ))) = cos^(- 1) (- (sqrt(2))/(2)) = (3 pi)/(4) in [0 , pi] .

    Passo 4

  4. cos^(- 1) (cos (5 pi)/(4))

Vamos converter radianos para graus usando a fórmula do item c). Seja então:

alpha = (180 ° * (5 pi)/(4))/(pi) = 225 °

Portanto, cos^(- 1) (cos (5 pi)/(4)) = cos^(- 1) ( cos 225 ° ) = cos^(- 1) underset(cos 135 °)(ubrace (cos ( 360 ° - 225 ° ))) = cos^(- 1) (- (sqrt(2))/(2)) = (3 pi)/(4) in [0 , pi] .

Resposta

  1. (pi)/(4)
  2. (pi)/(4)
  3. (3 pi)/(4)
  4. (3 pi)/(4)
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