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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.1 - Ex. 14

Dado que t = sec - 1 ⁡ - 3 , ache o valor exato de cada uma das funções: (a) sen ⁡ t ; (b) cos ⁡ t ; (c) tan ⁡ t ; (d) cot ⁡ t ; (e) csc ⁡ t .

Passo 1

  1. sen ⁡ t

    2. A primeira coisa que vamos fazer é observar que se t = sec - 1 ⁡ - 3 , então sec ⁡ t = - 3 . Agora lembramos também que sec ⁡ t = 1 cos ⁡ t = - 3 , então cos ⁡ t = - 1 3 . Perceba que já achamos a letra b).

    Agora vamos usar a relação sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1 .

    sen 2 ⁡ t + - 1 3 2 = 1 → sen 2 ⁡ t = 1 - 1 9 = 8 9

    sen ⁡ t = ± 8 9 = ± 2 2 3

    Devemos lembrar que a imagem de t = sec - 1 ⁡ x é o intervalo 0 , π 2 ∪ π , 3 π 2 . Porém cos ⁡ t < 0 , dessa forma, t ∈ π , 3 π 2 e sen ⁡ t < 0 , neste intervalo, logo:

    sen ⁡ t = - 2 2 3

    Passo 2

  2. cos ⁡ t

    3. Achamos cos ⁡ t = - 1 3 na letra a).

    Passo 3

  3. tan ⁡ t

    4. Sabemos que tan ⁡ t = sen ⁡ t cos ⁡ t , então, utilizando os resultados anteriores, temos:

    tan ⁡ t = - 2 2 3 - 1 3 = 2 2

    Passo 4

  4. cot ⁡ t

    5. Sabemos que cot ⁡ t = cos ⁡ t sen ⁡ t , então, utilizando os resultados anteriores, temos:

    cot ⁡ t = - 1 3 - 2 2 3 = 1 2 2 = 2 4

    Passo 5

  5. csc ⁡ t

Sabemos que csc ⁡ t = 1 sen ⁡ t , então, utilizando os resultados anteriores, temos:

sec ⁡ t = 1 - 2 2 3 = - 3 2 2 = - 3 4 2

Resposta

  1. - 2 2 3
  2. - 1 3
  3. 2 2
  4. 2 4
  5. - 3 4 2
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