Prove a fórmula indicada desta seção.

Fórmula (9) : Dx[tgh^(-1)⁡u] = 1 / (1 - u^2) Dx u , |u| < 1

Passo 1

Temos que:

tgh - 1 ⁡ u = 1 2 ln ⁡ 1 + x 1 - x ,   x < 1

Se derivarmos o lado direito dessa equação vamos achar a derivada do cosseno hiperbólico.

Para essa derivada temos que ir com bastante calma usando as regras da cadeia direitinho.

Primeiro, vamos trocar x por u x , e para não emborar tudo vamos colocar so u .

tgh - 1 ⁡ u = 1 2 ln ⁡ 1 + u 1 - u ,   x < 1

Vamos lá:

tgh - 1 ⁡ u ' = 1 2 ln ⁡ 1 + u 1 - u '

Pela regra da cadeia, e lembrando que

ln ⁡ x ' = 1 x

Teremos:

tgh - 1 ⁡ u ' = 1 2 1 1 + u 1 - u   1 + u 1 - u '

Passo 2

Vamos para a outra parte da derivada

  1 + u 1 - u '

Usando a regra do quociente:

1 + u 1 - u ' = 1 + u ' 1 - u - 1 - u ' 1 + u 1 - u 2 =

u ' 1 - u + u ' 1 + u 1 - u 2 = 2 u ' 1 - u 2

Passo 3

Nossa expressão vai ficar

tgh - 1 ⁡ u ' = 1 2 1 1 + u 1 - u   2 u ' 1 - u 2

tgh - 1 ⁡ u ' =   2 u ' 2 1 + u 1 - u 1 - u 2

Simplificando o 1 - u e o 2 , vamos ter

tgh - 1 ⁡ u ' =   u ' 1 + u 1 - u = u ' 1 - u 2

Passo 4

Vamos so ajustar a nomenclatura.

Aquele D x é o mesmo que ao linha, significa derivada. Então, era basicamente isso haha

D x tgh - 1 ⁡ u = 1 1 - u 2 D x u

A expressão usada para derivar tinha u < 1 como ele pediu para provar

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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