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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.5 - Ex. 5

Prove a fórmula indicada desta seção.

Fórmula (9) : D_x [tgh^(- 1) u] = (1)/(1 - u^2) D_x u , |u| < 1

Passo 1

Temos que:

tgh^(- 1) u = (1)/(2) ln ((1 + x)/(1 - x)) , |x| < 1

Se derivarmos o lado direito dessa equação vamos achar a derivada do cosseno hiperbólico.

Para essa derivada temos que ir com bastante calma usando as regras da cadeia direitinho.

Primeiro, vamos trocar x por u (x) , e para não emborar tudo vamos colocar so u .

tgh^(- 1) u = (1)/(2) ln ((1 + u)/(1 - u)) , |x| < 1

Vamos lá:

(tgh^(- 1) u)^' = ((1)/(2) ln ((1 + u)/(1 - u)))^'

Pela regra da cadeia, e lembrando que

(ln x)^' = (1)/(x)

Teremos:

(tgh^(- 1) u)^' = (1)/(2) (1)/(((1 + u)/(1 - u))) ((1 + u)/(1 - u))^'

Passo 2

Vamos para a outra parte da derivada

((1 + u)/(1 - u))^'

Usando a regra do quociente:

((1 + u)/(1 - u))^' = ((1 + u)^' (1 - u) - (1 - u)^' (1 + u))/((1 - u)^2) =

(u^' (1 - u) + u^' (1 + u))/((1 - u)^2) = (2 u^')/((1 - u)^2)

Passo 3

Nossa expressão vai ficar

(tgh^(- 1) u)^' = (1)/(2) (1)/(((1 + u)/(1 - u))) (2 u^')/((1 - u)^2)

(tgh^(- 1) u)^' = (2 u^')/(2 ((1 + u)/(1 - u)) (1 - u)^2)

Simplificando o (1 - u) e o 2 , vamos ter

(tgh^(- 1) u)^' = (u^')/((1 + u) (1 - u)) = (u^')/(1 - u^2)

Passo 4

Vamos so ajustar a nomenclatura.

Aquele D_x é o mesmo que ao linha, significa derivada. Então, era basicamente isso haha

D_x [tgh^(- 1) u] = (1)/(1 - u^2) D_x u

A expressão usada para derivar tinha |u| < 1 como ele pediu para provar

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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