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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.11 - Ex. 19

Demonstre a identidade:

cosh ⁡ x + senh ⁡ x n = cosh ⁡ n x + senh ⁡ n x

( n qualquer número real)

Passo 1

Fala aí! tudo certinho? 😁

Nesse problema temos que demonstrar a seguinte identidade

cosh ⁡ x + senh ⁡ x n = cosh ⁡ n x + senh ⁡ n x

( n qualquer número real)

Parece complicado? 🤔

Para resolver esse problema temos que lembrar das seguintes propriedades...

O senh ⁡ x (seno hiperbólico de x ) é dado por:

senh ⁡ x = e x - e - x 2

E o cosh ⁡ x (cosseno hiperbólico de x ) é dado por:

cosh ⁡ x = e x + e - x 2

Vamos usar essas informações para substituir em nossa identidade original e assim verificar o que o enunciado disse.

Veja só! 😉

Passo 2

Temos que

cosh ⁡ x + senh ⁡ x n = cosh ⁡ n x + senh ⁡ n x

E podemos escrever

cosh ⁡ x + senh ⁡ x = e x + e - x 2 + e x - e - x 2

Colocando tudo sobre o mesmo denominador, ficamos com:

cosh ⁡ x + senh ⁡ x = e x + e - x + e x - e - x 2

E reduzindo os termos semelhantes, teremos:

cosh ⁡ x + senh ⁡ x = e x + e x 2

E simplificando, temos:

cosh ⁡ x + senh ⁡ x = e x

Maravilha.

Passo 3

Agora podemos reescrever

cosh ⁡ x + senh ⁡ x n = cosh ⁡ n x + senh ⁡ n x

Substituindo

cosh ⁡ x + senh ⁡ x

Por

e x

Ficamos com:

cosh ⁡ x + senh ⁡ x n = e n x

Passo 4

De forma parecida podemos fazer o lado direito da expressão como:

cosh ⁡ n x + senh ⁡ n x = e n x + e - n x 2 + e n x - e - n x 2

E colocando tudo sobre o mesmo denominador, teremos:

e n x + e - n x + e n x - e - n x 2

E reduzindo os termos semelhantes

e n x + e n x 2

E finalmente, vemos que:

cosh ⁡ n x + senh ⁡ n x = e n x

E assim chegamos ao mesmo denominador que a expressão anterior.

Passo 5

Logo:

cosh ⁡ x + senh ⁡ x n = cosh ⁡ n x + senh ⁡ n x = e n x

Portanto, comprovamos que:

cosh ⁡ x + senh ⁡ x n = cosh ⁡ n x + senh ⁡ n x

E prontinho, comprovamos o que o enunciado queria!

Resposta

Demonstração

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Dado x = cos - 1 ⁡ 7 25 e y = tg - 1 ⁡ - 7 24 , ache o valor exato de cada uma das seguintes funções: a sen ⁡ x ; b sen ⁡ y ; c cos ⁡ x ; d tg ⁡ x
Ache o valor exato da quantidade dada:tg [2 sen^(- 1) (- (24)/(25))]
Dado x = sen - 1 ⁡ 3 5 e y = cos - 1 ⁡ - 4 5 , ache o valor exato de cada uma das seguintes funções: a cos ⁡ x ; b sen ⁡ y ; c tg ⁡ x ; d tg ⁡ y
Ache o valor exato da quantidade dada:cos [tg^(- 1) (4)/(3) - sen^(- 1) (- (5)/(13))]
Ache a área da região limitada pela caternária y = a cosh ⁡ x a , a0 , pelo eixo y , pelo eixo x e pela reta x = x 1 onde x 10