Demonstre a identidade:

(cosh(x) + senh(x))^n = cosh(n*x) + senh(n*x)

( n qualquer número real)

Passo 1

Fala aí! tudo certinho? 😁

Nesse problema temos que demonstrar a seguinte identidade

cosh ⁡ x + senh ⁡ x n = cosh ⁡ n x + senh ⁡ n x

( n qualquer número real)

Parece complicado? 🤔

Para resolver esse problema temos que lembrar das seguintes propriedades...

O senh ⁡ x (seno hiperbólico de x ) é dado por:

senh ⁡ x = e x - e - x 2

E o cosh ⁡ x (cosseno hiperbólico de x ) é dado por:

cosh ⁡ x = e x + e - x 2

Vamos usar essas informações para substituir em nossa identidade original e assim verificar o que o enunciado disse.

Veja só! 😉

Passo 2

Temos que

cosh ⁡ x + senh ⁡ x n = cosh ⁡ n x + senh ⁡ n x

E podemos escrever

cosh ⁡ x + senh ⁡ x = e x + e - x 2 + e x - e - x 2

Colocando tudo sobre o mesmo denominador, ficamos com:

cosh ⁡ x + senh ⁡ x = e x + e - x + e x - e - x 2

E reduzindo os termos semelhantes, teremos:

cosh ⁡ x + senh ⁡ x = e x + e x 2

E simplificando, temos:

cosh ⁡ x + senh ⁡ x = e x

Maravilha.

Passo 3

Agora podemos reescrever

cosh ⁡ x + senh ⁡ x n = cosh ⁡ n x + senh ⁡ n x

Substituindo

cosh ⁡ x + senh ⁡ x

Por

e x

Ficamos com:

cosh ⁡ x + senh ⁡ x n = e n x

Passo 4

De forma parecida podemos fazer o lado direito da expressão como:

cosh ⁡ n x + senh ⁡ n x = e n x + e - n x 2 + e n x - e - n x 2

E colocando tudo sobre o mesmo denominador, teremos:

e n x + e - n x + e n x - e - n x 2

E reduzindo os termos semelhantes

e n x + e n x 2

E finalmente, vemos que:

cosh ⁡ n x + senh ⁡ n x = e n x

E assim chegamos ao mesmo denominador que a expressão anterior.

Passo 5

Logo:

cosh ⁡ x + senh ⁡ x n = cosh ⁡ n x + senh ⁡ n x = e n x

Portanto, comprovamos que:

cosh ⁡ x + senh ⁡ x n = cosh ⁡ n x + senh ⁡ n x

E prontinho, comprovamos o que o enunciado queria!

Resposta

Demonstração

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Dado x = cos^(-1)(7 / 25) e y = tg^(-1)(-7/24) , ache o valor exato de cada uma das seguintes funções: (a) sen(x) ; b sen(y) ; c * cos(x) ; d(tg(x))
Ache o valor exato da quantidade dada:tg[2 * sen^(-1)(-24/25)]
Dado x = sen^(-1)(3/5) e y = cos^(-1)(-4/5) , ache o valor exato de cada uma das seguintes funções: (a) cos(x) ; b sen(y) ; c * tg(x) ; d(tg(y))
Ache o valor exato da quantidade dada:cos[tg^(-1)(4/3) - sen^(-1)(-5/13)]
Ache a área da região limitada pela caternária y = a * cosh(x / a) , a0 , pelo eixo y , pelo eixo x e pela reta x = x_1 onde x₁0