Demonstre a identidade:

1 + tgh ⁡ x 1 - tgh ⁡ x = e 2 x

Passo 1

Fala aí! tudo certinho? 😉

Nesse problema temos que mostrar que

1 + tgh ⁡ x 1 - tgh ⁡ x = e 2 x

Tem ideia de como fazemos isso? 😬

Se tgh ⁡ x (tangente hiperbólica de x ) é dada por:

tgh ⁡ x = sinh ⁡ x cosh ⁡ x

Por suas vezes, podemos escrever cosseno e seno hiperbólicos como

sinh ⁡ x = e x - e - x 2

cosh ⁡ x = e x + e - x 2

Logo, a tangente hiperbólica pode ser escrita em exponenciais como

tgh ⁡ x = e x - e - x e x + e - x

Podemos começar a partir daí! 👀

Passo 2

Então se usarmos a informação do passo anterior, vamos cair em

1 + tgh ⁡ x 1 - tgh ⁡ x = 1 + e x - e - x e x + e - x 1 - e x - e - x e x + e - x

Para simplificar, vamos multiplicar e dividir 1   por e x + e - x

1 + tgh ⁡ x 1 - tgh ⁡ x = e x + e - x e x + e - x + e x - e - x e x + e - x e x + e - x e x + e - x - e x - e - x e x + e - x

Dessa forma podemos colocar tudo no mesmo denominador...

1 + tgh ⁡ x 1 - tgh ⁡ x = e x + e - x + e x - e - x e x + e - x e x + e - x - e x - e - x e x + e - x

Simplificando e x + e - x , vamos obter

1 + tgh ⁡ x 1 - tgh ⁡ x = e x + e - x + e x - e - x e x + e - x - e x + e - x

Juntando os termos em comum

1 + tgh ⁡ x 1 - tgh ⁡ x = 2 e x 2 e - x

1 + tgh ⁡ x 1 - tgh ⁡ x = e x - - x

1 + tgh ⁡ x 1 - tgh ⁡ x = e 2 x

E aí! legal, né? Responde Aí! 😁

Resposta

Portanto, demonstramos que:

1 + tgh ⁡ x 1 - tgh ⁡ x = e 2 x

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