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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.11 - Ex. 16

Demonstre a identidade

c o s h   2 x = c o s h ²   x + senh ² ⁡ ( x )

Passo 1

Fala meus queridos...

Para essa questão temos que demonstrar a seguinte identidade:

c o s h   2 x = c o s h ²   x + senh ² ⁡ ( x )

Para isso, nós vamos usar a definição de cosseno hiperbólico e seno hiperbólico:

senh ⁡ x = e x - e - x 2

cosh ⁡ x = e x + e - x 2

Daí vamos substituir essas fórmulas na identidade dada e ver se a igualdade éverdade, bora lá?

Passo 2

Temos a seguinte identidade:

c o s h �� 2 x = c o s h ²   x + senh ² ⁡ ( x )

Substituindo a formulado cosseno hiperbólico de 2 x temos:

e 2 x + e - 2 x 2 = c o s h ²   x + senh ² ⁡ ( x )

Agora temos um cosseno hiperbólico ao quadrado, ou seja:

cosh 2 ⁡ x = e x + e - x 2 2

Aqui se liga que você tem que realizar o produto notável do quadrado da soma:

e x 2 + e - x 2 2 = e 2 x 4 + 2 e x e - x 4 + e - 2 x 4

Repara que

e x e - x = e x e x = 1

Portanto,

cosh 2 ⁡ x = e x 2 + e - x 2 2 = e 2 x 4 + 2 4 + e - 2 x 4

De forma análoga, para o quadrado do seno hiperbólico, teremos:

senh 2 ⁡ x = e x 2 - e - x 2 2

Aqui temos o quadrado da diferença, que resulta em:

senh 2 ⁡ x = e 2 x 4 - 2 e x e - x 4 + e - 2 x 4

Da mesma forma, podemos dizer que e x e - x = 1 , portanto:

senh 2 ⁡ x = e 2 x 4 - 2 4 + e - 2 x 4

Agora só vamos substituir tudo na igualdade.

Passo 3

Temos a identidade:

c o s h   2 x = c o s h ²   x + senh ² ⁡ ( x )

Substituindo as fórmulas, ficamos com:

e 2 x + e - 2 x 2 = e 2 x 4 + 2 4 + e - 2 x 4 + e 2 x 4 - 2 4 + e - 2 x 4

Simplificando:

e 2 x + e - 2 x 2 = e 2 x 4 + e - 2 x 4 + e 2 x 4 + e - 2 x 4

Fazendo a soma dos termos que são semelhantes:

e 2 x + e - 2 x 2 = 2 e 2 x 4 + 2 e - 2 x 4

Simplificando

e 2 x + e - 2 x 2 = e 2 x 2 + e - 2 x 2

E pronto, provamos que a identidade é verdadeira.

e 2 x + e - 2 x 2 = e 2 x + e - 2 x 2

Resposta

Demonstração nos Passos.

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Demonstre a identidade:(cosh x + senh x)^n = cosh n x + senh n x (n qualquer número real)
Demonstre a identidade: 1 + tgh ⁡ x 1 - tgh ⁡ x = e 2 x
Se cosh ⁡ 5 3 e x0 , encontre os valores das outras funções hiperbólicas em x .
Prove que a função seno hiperbólico é contínua e crescente em todo o seu domínio.
Prove que a catenária é côncava para cima em todo ponto.OBS: Equação da catenária y = a cosh ⁡ x a Pra um a0