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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.1 - Ex. 26

Nos exercícios de 21 a 26, ache uma nova equação para o gráfico da equação dada após uma translação de eixos para a nova origem, conforme está indicado. Trace os eixos originais e os novos e faça um esboço do gráfico.

26 . y + 1 2 = 4 x - 2 3 ; ( 2 , - 1 )

Passo 1

Antes de tudo, vamos abrir a nossa equação de modo que simplifique as substituições que iremos fazer:

y + 1 2 = 4 x - 2 3 ⇒ y + 1 2 = 4 x - 2 2 x - 2

                                                                                                                  ⇒   y + 1 2 = 4 x 2 - 4 x + 4 x - 2        

                                                                                                                              ⇒ y 2 + 2 y + 1 = 4 x 2 - 16 x + 16 x - 2

                                                                                                                          ⇒   y 2 + 2 y + 1 = 4 x 3 - 24 x 2 + 48 x - 32

Passo 2

Um ponto representado por ( x , y ) em relação ao sistema de eixos anterior, tem representação ( x 1 , y 1 ) em relação ao novo sistema de eixos que queremos mostrar. Com isso, podemos dizer que:

x = x 1 + 2

y = y 1 - 1

Agora vamos substituir isso na nossa equação.

Passo 3

( y 1 - 1 ) 2 + 2 y 1 - 1 + 1 = 4 x 1 + 2 3 - 24 x 1 + 2 2 + 48 ( x 1 + 2 ) - 32

y 1 2 - 2 y 1 + 1 + 2 y 1 - 2 + 1 = 4 x 1 + 2 2 x 1 + 2 - 24 x 1 + 2 2 + 48 ( x 1 + 2 ) - 32  

y 1 2 = 4 x 1 2 + 16 x 1 + 16 x 1 + 2 - 24 x 1 2 + 4 x 1 + 4 + 48 x 1 + 2 - 32

y 1 2 = 4 x 1 3 + 16 x 1 2 + 16 x 1 + 8 x 1 2 + 32 x 1 + 32 - 24 x 1 2 - 96 x 1 - 96 + 48 x 1 + 96 - 32

y 1 2 = 4 x 3

Passo 4

Na figura podemos ver onde se encontrava nosso gráfico nos eixos antigos. Agora com os novos eixos x 1 e y 1 representados pela linha tracejada, a função se encontra centrado na origem dos novos eixos.

Resposta

y 1 2 = 4 x 1 3

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