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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 1.2 - Ex. 48

Ache o valor de k tal que as retas cujas equações são 3 k x + 8 y = 5 e 6 y - 4 k x = - 1 sejam perpendiculares.

Passo 1

Vamos escrever a equação da primeira reta na forma reduzida:

3 k x + 8 y = 5 ⇒

8 y = - 3 k x + 5 ⇒

y = - 3 k x 8 + 5 8

Observe que o coeficiente angular dessa reta é - 3 k 8 .

Passo 2

Vamos escrever a equação da segunda reta na forma reduzida:

6 y - 4 k x = - 1 ⇒

6 y = 4 k x - 1 ⇒

y = 4 k x 6 - 1 6

Observe que o coeficiente angular dessa reta é 4 k 6 .

Passo 3

Para que as retas sejam perpendiculares é preciso que o produto de seus coeficientes angulares seja -1. Assim

- 3 k 8 . 4 k 6 = - 1 ⇒

- 12 k 2 48 = - 1 ⇒

- 12 k 2 = - 48 ⇒

12 k 2 = 48 ⇒

k 2 = 48 12 ⇒

k 2 = 4 ⇒

k = ± 4 ⇒

k = ± 2

Resposta

Portanto, se k = 2 ou k = - 2 as retas de equações 3 k x + 8 y = 5 e 6 y - 4 k x = - 1 são perpendiculares.

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