Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 1.2 - Ex. 56
Ache as equações das mediatrizes dos lados de um triângulo com vértices A(-1, -3), B(5, -3) e C(5, 5). E prove que elas se encontram em um ponto.
Passo 1
Inicialmente vamos marcar os pontos no plano cartesiano e fazer o esboço do triângulo.
Como as mediatrizes de um triângulo são retas perpendiculares a cada lado passando pelo ponto médio do respectivo lado, precisamos determinar os pontos médio.
Ponto médio de AB:
Ponto médio de AC:
Ponto médio de BC:
Passo 2
Vamos determinar a inclinação de cada lado do triângulo.
Lado AB:
O lado AB é paralelo ao eixo x.
Lado AC:
Lado BC:
Vamos fazer um abuso de notação neste caso.
Observe que esta divisão não existe (denominador é zero). Isto garante que o segmento BC é perpendicular ao eixo x.
Passo 3
Vamos analisar cada um dos lados do triângulo.
Lado AB:
Este lado é paralelo ao eixo x. Logo a mediatriz deve ser perpendicular ao eixo x passando pelo ponto médio do lado AB, ou seja, pelo ponto .
Portando a mediatriz do segmento AB deve ter equação
Lado AC:
Precisamos encontrar a inclinação m da mediatriz de AC de forma que . Assim
Substituindo, na equação , a inclinação e o ponto encontrados anteriormente, temos
Logo, a mediatriz do lado AC tem equação .
Lado BC:
Como este lado é perpendicular ao eixo x, a mediatriz deve ser paralela ao eixo x, ou seja, deve ter inclinação nula passando pelo ponto médio do lado BC, ou seja, pelo ponto .
Portanto a mediatriz do segmento BC tem equação .
Passo 4
Vamos fazer a intercessão entre as mediatrizes dos lados AB e AC. Para isso, basta substituir na equação da mediatriz de AC. Assim
Logo o ponto de interseção das mediatrizes de AB e AC é (2, 1).
Agora vamos achar o ponto de intercessão entre as mediatrizes dos lados BC e AC. Para isso, basta substituir na equação da mediatriz de AC. Assim
Logo o ponto de interseção das mediatrizes de BC e AC é (2, 1).
Portando as três mediatrizes do triângulo ABC se interceptam no ponto (2, 1).
Observação: O ponto de encontro dessas três mediatrizes é chamado de circuncentro.
Resposta
Assim, as equações das mediatrizes são , e . E o ponto de intercessão entre elas é (2, 1).