Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.2 - Ex. 26

Ache o volume do sólido gerado se a região do Exercício 25 for rotacionada em torno do eixo y.

Passo 1

Bom, o exercício 25 pedia para rotacionar em torno de um eixo , agora vamos rotacionar em torno do eixo y. Para calcularmos o volume desse sólido vamos usar a equação de volume por invólucro cilíndrico:

Passo 2

Bom, como a rotação já é no próprio eixo y, ou seja, que passa pela origem, não precisaremos ajeitar o x na equação acima, basta substituir os limites de integração, que serão , por causa da curva y e . A nossa função será a própria equação da curva, , como ela pode assumir valores positivos ou negativos, precisamos somar o módulo das duas para que a integral passe por toda a região, então ficamos com:

Passo 3

Reescrevendo a integral:

Integrando:

Substituindo os limites:

Resposta

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Nos Exercícios 27 e 28, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões sombreadas em torno dos eixos indicados. 28 – B – Para a reta y = 2 .

Nos exercícios 31-36, determine os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões em torno dos eixos dados. Se preferir, você poderá usar anéis para resolvê-los. 31 – O triângulo com vértices (

Para algumas regiões, os dois métodos funcionam bem para sólidos obtidos com a rotação da região em torno dos eixos das coordenadas, mas isso nem sempre ocorre. Por exemplo, quando uma região gira em