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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.2 - Ex. 40

Ache o volume do sólido gerado pela rotação de um arco da senóide em torno do eixo x .

Passo 1

Pessoal, senóide é o gráfico da função seno. E o que seria “um arco da senóide”? Vamos dar uma olhada no gráfico da função seno.

Um arco da senóide seria a curva no intervalo de [ 0 ,   π ] , π , 2 π , … e por aí vai. Se a gente pegar qualquer arco desses e rotacionar em torno do eixo x , vamos gerar o mesmo sólido e o problema quer o volume deste sólido.

Como é uma rotação em torno do eixo x e temos uma f ( x ) , podemos usar o método dos discos ou arruelas. A primeira coisa a se fazer é lembrar a fórmula que calcula o volume do sólido obtido pela rotação da curva f ( x ) em um intervalo [ a , b ] .

V = ∫ a b π f x 2 d x

Passo 2

Agora vamos utilizar essa fórmula, sabendo que f x = sen ⁡ x e vamos pegar o arco do intervalo [ 0 , π ] , poderia ser outro. Dessa forma, o volume será:

V = ∫ 0 π π sen ⁡ x 2 d x = π ∫ 0 π sen 2 ⁡ x d x

Antes de resolver, precisamos usar uma relação trigonométrica para virar uma integral imediata. A relação é:

sen 2 ⁡ x = 1 - cos ⁡ 2 x 2

Ficamos então com:

V = π ∫ 0 π sen 2 ⁡ x d x = π ∫ 0 π 1 - cos ⁡ 2 x 2 d x = π 2 ∫ 0 π 1 - cos ⁡ 2 x d x

Passo 3

Para resolver essa última integral, vamos usar:

∫ cos ⁡ a x d x = sen ⁡ a x a + C             a ≠ 0

Daí temos:

V = π 2 x - sen ⁡ 2 x 2 0 π

Sabemos da integral definida que:

∫ a b f x d x = F b - F a

Em que F é uma primitiva de f . Diante disso,

V = π 2 x - sen ⁡ 2 x 2 0 π = π 2 π - sen ⁡ 2 π 2 - 1 2 0 - sen ⁡ 0 2

V = π 2 π - 0 - 1 2 0 - 0 = π 2 2

Logo, o volume é:

V = π 2 2   u . v

u . v significa é unidades de volume.

Resposta

V = π 2 2   u . v

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