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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.1 - Ex. 33

Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas retas e curvas em torno do eixo y

x = 2 sen ⁡ 2 y

0 ≤ y ≤ π 2

x = 0

Passo 1

A curva que ele deu é:

x = 2 sen ⁡ 2 y

Aqui estamos trabalhando com funções em y porque vamos rotacionar ao redor do eixo y .

Essa curva é mesmo estranha de ver com facilidade, mas ele disse que está limitada por:

0 ≤ y ≤ π 2

Para entendermos como é a região e qual vai ser a integral, vamos olhar um esboço dela:

A região é entre a curva verde e a azul.

Entao a região vai de y = 0 até y = π 2 . Onde o raio do disco vai ser a função verde, lembrando que estamos pegando uma função de y :

r y = 2 sen ⁡ 2 y

O volume vai ser:

V = ∫ 0 π 2 π 2 sen ⁡ 2 y 2 d y

Como estamos pegando a parte positiva da função de y , ou seja, à direita do eixo y , podemos cortar a raiz com o quadrado sem precisar colocar módulo:

2 sen ⁡ 2 y 2 = 2 sen ⁡ 2 y

V = ∫ 0 π 2 2 π sen ⁡ 2 y d y

Passo 2

Vamos resolver essa integral:

V = ∫ 0 π 2 2 π sen ⁡ 2 y d y

V = 2 π ∫ 0 π 2 sen ⁡ 2 y d y

Primeiro, vamos ver a integral indefinida:

∫ sen ⁡ 2 y d y

Pra resolver essa integral, vamos fazer a seguinte substituição:

2 y = a → 2 d y = d a → d y = d a 2

A nossa integral vai ficar:

∫ sen ⁡ 2 y d y = ∫ sen ⁡ a d a 2 = 1 2 ∫ sen ⁡ a d a

Resolvendo a integral em a

1 2 ∫ sen ⁡ a d a = 1 2 - cos ⁡ a + C = - cos ⁡ a 2 + C

Voltando para y :

= - cos ⁡ a 2 + C = - cos ⁡ 2 y 2 + C

Passo 3

Voltando para a nossa integral definida:

V = 2 π ∫ 0 π 2 sen ⁡ 2 y d y = π - cos ⁡ 2 y 2 0 π 2 =

2 π - cos ⁡ 2 π 2 2 - 2 π - cos ⁡ 2 0 2 =

2 π - cos ⁡ π 2 - 2 π - cos ⁡ 0 2 =

2 π - - 1 2 - 2 π - 1 2 =

2 π 2 - - 2 π 2 =

π + π

2 π

Resposta

2 π

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