Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas retas e curvas em torno do eixo

As curvas que ele deu são:

Para entendermos como é a região e qual vai ser a integral, vamos olhar um esboço dela:

A região é entre a curva verde e a laranja, ao redor do eixo .

Essa região é aquela entre duas curvas, então temos que usar o método dos anéis. Qua basicamente é separar em dois volumes, o da curva laranja e o da curva verde.

Vamos ter então que o volume vai ser:

Onde

Isso porque a curva laranja está acima da verde.

Ele já deu o intervalo que vamos usar, vamos so verificar se isso é efetivamente no neocntro das curvas para ver se realmente fica entre uma curva e outra.

Racionalizando:

Beleza, é o valor da outra curva mesmo.

Agora o outro lado:

Racionalizando:

Beleza, é o valor da outra curva mesmo.

Entao a região vai de até . Onde os raios dos discos, que formam o anel, vão ser:

Cada volume vai ser:

E

Com: