Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta x = 2 , da região limitada pelo gráfico de y = 2x - 1/6 * x^3 , pelo eixo x e pela reta x = 2 .

Passo 1

Pessoal, como vai ser a rotação em torno da reta x = 2 paralela ao eixo y e temos uma função na variável x , está perfeito para usarmos o método das cascas cilíndricas, ok?

Agora para resolver, a primeira coisa a se fazer é lembrar a fórmula que calcula o volume sólido obtido pela rotação da curva f ( x ) em um intervalo [ a , b ] .

V = 2 π ∫ a b r x h ( x ) d x

Aqui temos que tomar cuidado pois a rotação é em torno do eixo x = 2 , nesse caso, o r x = 2 - x e nossa h x = 2 x - 1 6 x 3 , pois será a área entre ela e o eixo x . O intervalo de integração será de 0 a reta x = 2 . Sendo assim, o volume é dado por:

V = 2 π ∫ 0 2 ( 2 - x ) 2 x - 1 6 x 3 d x = 2 π ∫ 0 2 x 4 6 - x 3 3 - 2 x 2 + 4 d x

Vamos confirmar olhando a figura da região abaixo:

Passo 2

Já podemos resolver a integral. Sabemos da integral definida que

∫ a b f x d x = F b - F a

Em que F é uma primitiva de f .

Devemos lembrar também que:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C           n ≠ - 1

Dessa forma,

V = 2 π ∫ 0 2 x 4 6 - x 3 3 - 2 x 2 + 4 d x = 2 π x 5 5 ⋅ 6 - x 4 3 ⋅ 4 - 2 x 3 3 + 4 x 0 2

= 2 π ( 2 ) 5 30 - 2 4 12 - 2 2 3 3 + 4 ( 2 ) - ( 0 ) 5 30 - 0 4 12 - 2 0 3 3 + 4 ( 0 )

= 2 π 3 2 30 - 16 12 - 16 3 + 8 = 2 π 32 ⋅ 2 - 5 ⋅ 16 - 20 ⋅ 16 + 60 ⋅ 8 60

= π 30 64 - 80 - 320 + 480 = 144 π 30 = 64 π 15 = 24 π 5     u . v

Logo, o volume é V = 24 π 5   u . v .

Resposta

V = 24 π 5   u . v

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