Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.Revisão - Ex. 34

Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta , da região limitada pelo gráfico de , pelo eixo e pela reta .

Passo 1

Pessoal, como vai ser a rotação em torno da reta paralela ao eixo e temos uma função na variável , está perfeito para usarmos o método das cascas cilíndricas, ok?

Agora para resolver, a primeira coisa a se fazer é lembrar a fórmula que calcula o volume sólido obtido pela rotação da curva em um intervalo .

Aqui temos que tomar cuidado pois a rotação é em torno do eixo , nesse caso, o e nossa , pois será a área entre ela e o eixo . O intervalo de integração será de a reta . Sendo assim, o volume é dado por:

Vamos confirmar olhando a figura da região abaixo:

Passo 2

Já podemos resolver a integral. Sabemos da integral definida que

Em que é uma primitiva de .

Devemos lembrar também que:

Dessa forma,

Logo, o volume é .

Resposta

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Escreva, mas não calcule, uma integral para o volume de um sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado. x 2 - y 2 = 7 ,x = 4 ; em torno de y = 5

Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado. Esboce a região e uma casca típica. y = 4 x - x 2 ,y

Escreva, mas não calcule, uma integral para o volume de um sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado. y = 1 1 + x 2 ,y = 0 ,x = 0 ,x = 2 ; em torno

Use a Regra do Ponto Médio com n = 5 para estimar o volume obtido pela rotação em torno do eixo y da região sob a curva y = 1 + x 3 ,0 ≤ x ≤ 1 .

A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. x 2 + y - 1 2 = 1 ; em torno do eixo y