Calcule a integral indefinida:

∫ d x x 4 16 + x 2

Passo 1

Pessoal, a primeira coisa que devemos fazer aqui para resolver essa integral indefinida é saber qual substituição trigonométrica usar, como nós temos x 2 + 16 = x 2 + 4 2 no denominador, isso indica a substituição com a tangente, como vocês podem ver a seguir no quadro de substituições com os respectivos triângulos e intervalos.

Olhando o quadrinho, percebemos que a substituição deve ser x = 4 tan ⁡ θ .

Passo 2

Façamos então a substituição:

x = 4 tan ⁡ θ d x = 4 sec 2 ⁡ θ d θ

Dessa forma, x 2 = 16 tan 2 ⁡ θ     →     x 2 + 16 = 16 tan 2 ⁡ θ + 16 = 16 tan 2 ⁡ θ + 1 ⏞ sec 2 ⁡ θ = 16 sec 2 ⁡ θ .

Passo 3

Agora vamos trocar a variável da integral utilizando:

∫ d x x 4 16 + x 2 = ∫ 4 sec 2 ⁡ θ d θ ( 4 tan ⁡ θ ) 4 16 sec 2 ⁡ θ

Considerando os intervalos adequados, podemos tirar o   sec 2 ⁡ θ da raiz sem o módulo.

∫ 4 sec 2 ⁡ θ d θ ( 4 tan ⁡ θ ) 4 16 sec 2 ⁡ θ = 4 ∫ sec 2 ⁡ θ d θ 4 4 tan 4 ⁡ θ ⋅ 4 sec ⁡ θ = 4 4 5 ∫ sec 2 ⁡ θ d θ tan 4 ⁡ θ sec ⁡ θ = 1 256 ∫ sec ⁡ θ d θ tan 4 ⁡ θ

= 1 256 ∫ 1 cos ⁡ θ sen 4 ⁡ θ cos 4 ⁡ θ d θ = 1 256 ∫ cos 3 ⁡ θ sen 4 ⁡ θ d θ = 1 256 ∫ 1 - sen 2 ⁡ θ ⏞ cos 2 ⁡ θ cos ⁡ θ sen 4 ⁡ θ d θ

Agora faremos uma substituição u = sen ⁡ θ       →         d u = cos ⁡ θ d θ . Ficamos então com:

1 256 ∫ 1 - sen 2 ⁡ θ cos ⁡ θ sen 4 ⁡ θ d θ = 1 256 ∫ 1 - u 2 u 4 d u = 1 256 ∫ 1 u 4 - u 2 u 4 d u

= 1 256 ∫ ( u - 4 - u - 2 ) d u

Passo 4

Podemos resolver essa integral utilizando ∫ u n d u = u n + 1 n + 1 + C         n ≠ - 1 .

1 256 ∫ ( u - 4 - u - 2 ) d u = 1 256 u - 4 + 1 - 4 + 1 - u - 2 + 1 - 2 + 1 + C = 1 256 u - 3 - 3 - u - 1 - 1 + C

= 1 256 - 1 3 u 3 + 1 u + C

Passo 5

Como a integral indefinida foi dada na variável x , devemos dar a resposta nesta variável. Sendo x = 4 tan ⁡ θ e sen ⁡ θ = u , então:

∫ d x x 4 16 + x 2 = 1 256 - 1 3 ( sen ⁡ θ ) 3 + 1 ( sen ⁡ θ ) + C

Para achar sen ⁡ θ nós olhamos o triângulo da substituição seno construído no inicio e utilizamos essas relações trigonométricas. Temos então:

sen ⁡ θ = x x 2 + a 2 = x x 2 + 16  

Dessa forma, o resultado da integral será:

∫ d x x 4 16 + x 2 = 1 256 - 1 3 x x 2 + 16 3 + 1 x x 2 + 16 + C

= 1 256 - x 2 + 16 3 3 x 3 + x 2 + 16 x + C

= 1 256 - ( x 2 + 16 ) x 2 + 16 3 x 3 + 3 x 2 x 2 + 16 3 x 3 + C

= 1 256 - x 2 + 16 x 2 + 16 + 3 x 2 x 2 + 16 3 x 3 + C

= 1 768 3 x 2 - x 2 - 16 x 2 + 16 x 3 + C

= 1 768 2 x 2 - 16 x 2 + 16 x 3 + C = 2 768 x 2 - 8 x 2 + 16 x 3 + C

∫ d x x 4 16 + x 2 = x 2 - 8 x 2 + 16 384 x 3 + C

Resposta

∫ d x x 4 16 + x 2 = x 2 - 8 x 2 + 16 384 x 3 + C

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