Use a Regra do Ponto Médio com n = 5 para estimar o volume obtido pela rotação em torno do eixo y da região sob a curva y = raiz(1 + x^3), 0 ≤ x ≤ 1 .

Passo 1

Esboçando o enunciado temos o seguinte desenho:

Passo 2

Como a função gira em torno do eixo y e ela já está em ( 0,0 ) , nosso raio é o próprio x , e nossa altura é a função 1 + x 3 , então nossa integral é:

V = ∫ 0 1 2 π x 1 + x 3 d x .

Passo 3

Dizendo que nossa função é f x = x 1 + x 3 , e usando a Regra do Ponto Médio em n = 5 , temos

∫ 0 1 f x d x ≈ 1 - 0 5 f 0.1 + f 0.3 + f 0.5 + f 0.7 + f 0.9 ≈ 0.2 2.9290

Multiplicando por 2 π ,que é a parte do volume que foi deixada de fora temos um V que vale mais ou menos 3.68 .

Resposta

V ≈ 3.68 .

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