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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.1 - Ex. 11

Ache o volume do solido de revolução descrito quando a região dada da figura for rotacionada em torno da reta indicada.

Uma equação da curva na figura é y 2 = x 3

O B C em torno da reta A C

Passo 1

A figura que ele deu é:

Com a curva

y 2 = x 3

Aqui, queremos o colume de O B C em torno do eixo y

Como estamos trabalhando com rotação no eixo paralelo ao y , devemos olhar o intervalo de variação nele. Vamos ter, pelo gráfico:

y = 0

y = 8

Para acharmos a função em y , já que estamos rodando paralelo ao eixo y vamos isolar o x

y 2 = x 3 → x = y 2 3

Na verdade aqui, temos duas regiões. Uma da Curva O C até a reta A C , e outra do eixo y até a reta A C .

O volume vai ser a subtração dessas duas:

V = V 1 - V 2

Onde:

da Curva O C até a reta A C → V 2

do eixo y até a reta A C → V 1

Vamos ver os raios de cada região:

r 2 y = 4 - y 2 3

Da vermelha para a verde, vamos ter:

r 2 y = 4

O volume vai ser a subtração dos dois volumes

V = V 1 - V 2

V 2 = ∫ 0 8 π 4 - y 2 3 2 d y = ∫ 0 8 π 16 - 8 y 2 3 + y 4 3 d y

V 1 = ∫ 0 8 π 4 2 d y = ∫ 0 8 π 16 d y

Passo 2

Vamos resolver essas integral:

V 1 = ∫ 0 8 π 16 d y = 16 π ∫ 0 8 d y = 16 π y 0 8 = 16 π 8 - 0 = 128 π

Passo 3

Vamos resolver essa integral:

V 2 = ∫ 0 8 π 16 - 8 y 2 3 + y 4 3 d y

V 2 = π ∫ 0 8 16 - 8 y 2 3 + y 4 3 d y

Primeiro, vamos ver a integral indefinida:

∫ 16 - 8 y 2 3 + y 4 3 d y = 16 y - 8 y 2 3 + 1 2 3 + 1 + y 4 3 + 1 4 3 + 1 + C =

16 y - 8 y 5 3 5 3 + y 7 3 7 3 + C = 16 y - 8 3 5 y 5 3 + 3 7 y 7 3 + C

Passo 4

Voltando para a nossa integral definida:

V 2 = π ∫ 0 8 16 - 8 y 2 3 + y 4 3 d y = π 16 y - 8 3 5 y 5 3 + 3 7 y 7 3 0 8 =

π 16.8 - 8 3 5 8 5 3 + 3 7 8 7 3 - π 16.0 - 8 3 5 0 5 3 + 3 7 0 7 3 =

Lebmrando que

8 7 3 = 8 3 7 = 2 7 = 128

8 5 3 = 8 3 5 = 2 5 = 32

Vamos ter:

π 16.8 - 8 3 5 32 + 3 7 128 = π 128 - 768 5 + 384 7

π 4480 - 5376 + 1920 35

1024 π 35

Passo 5

Nosso volume vai ficar:

V = V 1 - V 2 = 128 π - 1024 π 35 = 4480 - 1024 π 35 = 3456 π 35

Resposta

3456 π 35

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